Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80685 / 19669
↖ ↑ ↗
← N 77.338433°
E 41.607971°		 ← 66.95 m → N 77.338433°
E 41.610718°		 →
↑
66.96 m
↓
↑
66.96 m
↓
N 77.337831°
E 41.607971°		 ← 66.95 m →
4 483 m²		 N 77.337831°
E 41.610718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.615581512451172 y=0.150066375732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.615581512451172 × 217)
    floor (0.615581512451172 × 131072)
    floor (80685.5)     		tx = 80685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150066375732422 × 217)
    floor (0.150066375732422 × 131072)
    floor (19669.5)     		ty = 19669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80685 / 19669 ti = "17/80685/19669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80685/19669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80685 ÷ 217
    80685 ÷ 131072     		x = 0.615577697753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19669 ÷ 217
    19669 ÷ 131072     		y = 0.150062561035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.615577697753906 × 2 - 1) × π
    0.231155395507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.72619609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150062561035156 × 2 - 1) × π
    0.699874877929688 × 3.1415926535     		Φ = 2.19872177487312
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72619609} λ = 0.72619609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19872177487312))-π/2
    2×atan(9.01348487007022)-π/2
    2×1.46030331222109-π/2
    2.92060662444217-1.57079632675     		φ = 1.34981030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72619609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.607971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34981030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.338433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80685 KachelY 19669 0.72619609 1.34981030 41.607971 77.338433
    Oben rechts KachelX + 1 80686 KachelY 19669 0.72624403 1.34981030 41.610718 77.338433
    Unten links KachelX 80685 KachelY + 1 19670 0.72619609 1.34979979 41.607971 77.337831
    Unten rechts KachelX + 1 80686 KachelY + 1 19670 0.72624403 1.34979979 41.610718 77.337831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34981030-1.34979979) × R
    1.05099999998526e-05 × 6371000     		dl = 66.9592099990608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34981030-1.34979979) × R
    1.05099999998526e-05 × 6371000     		dr = 66.9592099990608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72619609-0.72624403) × cos(1.34981030) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.219191777872314 × 6371000     		do = 66.9468109586783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72619609-0.72624403) × cos(1.34979979) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.21920203227587 × 6371000     		du = 66.9499429174727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34981030)-sin(1.34979979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219191777872314-0.21920203227587)×R²
    abs(0.72624403-0.72619609)×1.02544035560093e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.02544035560093e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.02544035560093e-05×40589641000000     		ar = 4482.81043049923m²