Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8067 / 9426
↖ ↑ ↗
← S 26.155438°
W  2.746582°		 ← 2 193.09 m → S 26.155438°
W  2.724609°		 →
↑
2 192.90 m
↓
↑
2 192.90 m
↓
S 26.175159°
W  2.746582°		 ← 2 192.72 m →
4 808 817 m²		 S 26.175159°
W  2.724609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492401123046875 y=0.575347900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492401123046875 × 214)
    floor (0.492401123046875 × 16384)
    floor (8067.5)     		tx = 8067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575347900390625 × 214)
    floor (0.575347900390625 × 16384)
    floor (9426.5)     		ty = 9426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8067 / 9426 ti = "14/8067/9426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8067/9426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8067 ÷ 214
    8067 ÷ 16384     		x = 0.49237060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9426 ÷ 214
    9426 ÷ 16384     		y = 0.5753173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49237060546875 × 2 - 1) × π
    -0.0152587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04793690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5753173828125 × 2 - 1) × π
    -0.150634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.473233073049194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04793690} λ = -0.04793690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.473233073049194))-π/2
    2×atan(0.622984853275771)-π/2
    2×0.557148908475924-π/2
    1.11429781695185-1.57079632675     		φ = -0.45649851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04793690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.746582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45649851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.155438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8067 KachelY 9426 -0.04793690 -0.45649851 -2.746582 -26.155438
    Oben rechts KachelX + 1 8068 KachelY 9426 -0.04755340 -0.45649851 -2.724609 -26.155438
    Unten links KachelX 8067 KachelY + 1 9427 -0.04793690 -0.45684271 -2.746582 -26.175159
    Unten rechts KachelX + 1 8068 KachelY + 1 9427 -0.04755340 -0.45684271 -2.724609 -26.175159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45649851--0.45684271) × R
    0.000344199999999961 × 6371000     		dl = 2192.89819999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45649851--0.45684271) × R
    0.000344199999999961 × 6371000     		dr = 2192.89819999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04793690--0.04755340) × cos(-0.45649851) × R
    0.000383499999999995 × 0.89760148121631 × 6371000     		do = 2193.09040062393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04793690--0.04755340) × cos(-0.45684271) × R
    0.000383499999999995 × 0.897449701978355 × 6371000     		du = 2192.71956167509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45649851)-sin(-0.45684271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89760148121631-0.897449701978355)×R²
    abs(-0.04755340--0.04793690)×0.000151779237955063×R²
    0.000383499999999995×0.000151779237955063×6371000²
    0.000383499999999995×0.000151779237955063×40589641000000     		ar = 4808817.4334093m²