Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8066 / 3458
↖ ↑ ↗
← N 71.510978°
W  2.768554°		 ← 774.80 m → N 71.510978°
W  2.746582°		 →
↑
774.97 m
↓
↑
774.97 m
↓
N 71.504009°
W  2.768554°		 ← 775.08 m →
600 554 m²		 N 71.504009°
W  2.746582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492340087890625 y=0.211090087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492340087890625 × 214)
    floor (0.492340087890625 × 16384)
    floor (8066.5)     		tx = 8066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211090087890625 × 214)
    floor (0.211090087890625 × 16384)
    floor (3458.5)     		ty = 3458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8066 / 3458 ti = "14/8066/3458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8066/3458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8066 ÷ 214
    8066 ÷ 16384     		x = 0.4923095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3458 ÷ 214
    3458 ÷ 16384     		y = 0.2110595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4923095703125 × 2 - 1) × π
    -0.015380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04832039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2110595703125 × 2 - 1) × π
    0.577880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.81546626241077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04832039} λ = -0.04832039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81546626241077))-π/2
    2×atan(6.14394019806883)-π/2
    2×1.40944917242884-π/2
    2.81889834485768-1.57079632675     		φ = 1.24810202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04832039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.768554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24810202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.510978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8066 KachelY 3458 -0.04832039 1.24810202 -2.768554 71.510978
    Oben rechts KachelX + 1 8067 KachelY 3458 -0.04793690 1.24810202 -2.746582 71.510978
    Unten links KachelX 8066 KachelY + 1 3459 -0.04832039 1.24798038 -2.768554 71.504009
    Unten rechts KachelX + 1 8067 KachelY + 1 3459 -0.04793690 1.24798038 -2.746582 71.504009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24810202-1.24798038) × R
    0.000121639999999923 × 6371000     		dl = 774.968439999509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24810202-1.24798038) × R
    0.000121639999999923 × 6371000     		dr = 774.968439999509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04832039--0.04793690) × cos(1.24810202) × R
    0.00038349 × 0.317122947194593 × 6371000     		do = 774.799474834218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04832039--0.04793690) × cos(1.24798038) × R
    0.00038349 × 0.317238306330848 × 6371000     		du = 775.081321982079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24810202)-sin(1.24798038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317122947194593-0.317238306330848)×R²
    abs(-0.04793690--0.04832039)×0.000115359136255322×R²
    0.00038349×0.000115359136255322×6371000²
    0.00038349×0.000115359136255322×40589641000000     		ar = 600554.352387596m²