Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80654 / 19214
↖ ↑ ↗
← N 77.609461°
E 41.522827°		 ← 65.54 m → N 77.609461°
E 41.525574°		 →
↑
65.49 m
↓
↑
65.49 m
↓
N 77.608872°
E 41.522827°		 ← 65.54 m →
4 292 m²		 N 77.608872°
E 41.525574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.615345001220703 y=0.146595001220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.615345001220703 × 217)
    floor (0.615345001220703 × 131072)
    floor (80654.5)     		tx = 80654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146595001220703 × 217)
    floor (0.146595001220703 × 131072)
    floor (19214.5)     		ty = 19214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80654 / 19214 ti = "17/80654/19214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80654/19214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80654 ÷ 217
    80654 ÷ 131072     		x = 0.615341186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19214 ÷ 217
    19214 ÷ 131072     		y = 0.146591186523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.615341186523438 × 2 - 1) × π
    0.230682373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.72471005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146591186523438 × 2 - 1) × π
    0.706817626953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22053306420024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72471005} λ = 0.72471005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22053306420024))-π/2
    2×atan(9.2122402727449)-π/2
    2×1.4626684752935-π/2
    2.925336950587-1.57079632675     		φ = 1.35454062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72471005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.522827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35454062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.609461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80654 KachelY 19214 0.72471005 1.35454062 41.522827 77.609461
    Oben rechts KachelX + 1 80655 KachelY 19214 0.72475799 1.35454062 41.525574 77.609461
    Unten links KachelX 80654 KachelY + 1 19215 0.72471005 1.35453034 41.522827 77.608872
    Unten rechts KachelX + 1 80655 KachelY + 1 19215 0.72475799 1.35453034 41.525574 77.608872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35454062-1.35453034) × R
    1.02800000001402e-05 × 6371000     		dl = 65.4938800008931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35454062-1.35453034) × R
    1.02800000001402e-05 × 6371000     		dr = 65.4938800008931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72471005-0.72475799) × cos(1.35454062) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214574055671997 × 6371000     		do = 65.5364397383778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72471005-0.72475799) × cos(1.35453034) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214584096216043 × 6371000     		du = 65.5395063789732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35454062)-sin(1.35453034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214574055671997-0.214584096216043)×R²
    abs(0.72475799-0.72471005)×1.0040544046408e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0040544046408e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0040544046408e-05×40589641000000     		ar = 4292.33614310386m²