Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80653 / 19213
↖ ↑ ↗
← N 77.610050°
E 41.520080°		 ← 65.53 m → N 77.610050°
E 41.522827°		 →
↑
65.56 m
↓
↑
65.56 m
↓
N 77.609461°
E 41.520080°		 ← 65.54 m →
4 296 m²		 N 77.609461°
E 41.522827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.615337371826172 y=0.146587371826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.615337371826172 × 217)
    floor (0.615337371826172 × 131072)
    floor (80653.5)     		tx = 80653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146587371826172 × 217)
    floor (0.146587371826172 × 131072)
    floor (19213.5)     		ty = 19213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80653 / 19213 ti = "17/80653/19213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80653/19213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80653 ÷ 217
    80653 ÷ 131072     		x = 0.615333557128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19213 ÷ 217
    19213 ÷ 131072     		y = 0.146583557128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.615333557128906 × 2 - 1) × π
    0.230667114257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.72466211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146583557128906 × 2 - 1) × π
    0.706832885742188 × 3.1415926535     		Φ = 2.22058100109986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72466211} λ = 0.72466211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22058100109986))-π/2
    2×atan(9.21268188956691)-π/2
    2×1.4626736181805-π/2
    2.925347236361-1.57079632675     		φ = 1.35455091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72466211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.520080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35455091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.610050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80653 KachelY 19213 0.72466211 1.35455091 41.520080 77.610050
    Oben rechts KachelX + 1 80654 KachelY 19213 0.72471005 1.35455091 41.522827 77.610050
    Unten links KachelX 80653 KachelY + 1 19214 0.72466211 1.35454062 41.520080 77.609461
    Unten rechts KachelX + 1 80654 KachelY + 1 19214 0.72471005 1.35454062 41.522827 77.609461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35455091-1.35454062) × R
    1.02899999998574e-05 × 6371000     		dl = 65.5575899990912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35455091-1.35454062) × R
    1.02899999998574e-05 × 6371000     		dr = 65.5575899990912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72466211-0.72471005) × cos(1.35455091) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214564005338175 × 6371000     		do = 65.5333701077332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72466211-0.72471005) × cos(1.35454062) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214574055671997 × 6371000     		du = 65.5364397383778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35455091)-sin(1.35454062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214564005338175-0.214574055671997)×R²
    abs(0.72471005-0.72466211)×1.00503338212599e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00503338212599e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00503338212599e-05×40589641000000     		ar = 4296.31042764777m²