Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80650 / 19212
↖ ↑ ↗
← N 77.610639°
E 41.511841°		 ← 65.53 m → N 77.610639°
E 41.514588°		 →
↑
65.49 m
↓
↑
65.49 m
↓
N 77.610050°
E 41.511841°		 ← 65.53 m →
4 292 m²		 N 77.610050°
E 41.514588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.615314483642578 y=0.146579742431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.615314483642578 × 217)
    floor (0.615314483642578 × 131072)
    floor (80650.5)     		tx = 80650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146579742431641 × 217)
    floor (0.146579742431641 × 131072)
    floor (19212.5)     		ty = 19212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80650 / 19212 ti = "17/80650/19212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80650/19212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80650 ÷ 217
    80650 ÷ 131072     		x = 0.615310668945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19212 ÷ 217
    19212 ÷ 131072     		y = 0.146575927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.615310668945312 × 2 - 1) × π
    0.230621337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.72451830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146575927734375 × 2 - 1) × π
    0.70684814453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22062893799948
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72451830} λ = 0.72451830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22062893799948))-π/2
    2×atan(9.21312352755918)-π/2
    2×1.46267876082671-π/2
    2.92535752165342-1.57079632675     		φ = 1.35456119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72451830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.511841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35456119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.610639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80650 KachelY 19212 0.72451830 1.35456119 41.511841 77.610639
    Oben rechts KachelX + 1 80651 KachelY 19212 0.72456624 1.35456119 41.514588 77.610639
    Unten links KachelX 80650 KachelY + 1 19213 0.72451830 1.35455091 41.511841 77.610050
    Unten rechts KachelX + 1 80651 KachelY + 1 19213 0.72456624 1.35455091 41.514588 77.610050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35456119-1.35455091) × R
    1.02800000001402e-05 × 6371000     		dl = 65.4938800008931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35456119-1.35455091) × R
    1.02800000001402e-05 × 6371000     		dr = 65.4938800008931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72451830-0.72456624) × cos(1.35456119) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.214553964748756 × 6371000     		do = 65.5303034534316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72451830-0.72456624) × cos(1.35455091) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.214564005338175 × 6371000     		du = 65.533370107885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35456119)-sin(1.35455091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214553964748756-0.214564005338175)×R²
    abs(0.72456624-0.72451830)×1.00405894190858e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.00405894190858e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.00405894190858e-05×40589641000000     		ar = 4291.93425445065m²