Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8063 / 3971
↖ ↑ ↗
← N 67.584098°
W  2.834473°		 ← 931.66 m → N 67.584098°
W  2.812500°		 →
↑
931.89 m
↓
↑
931.89 m
↓
N 67.575717°
W  2.834473°		 ← 931.99 m →
868 358 m²		 N 67.575717°
W  2.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492156982421875 y=0.242401123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492156982421875 × 214)
    floor (0.492156982421875 × 16384)
    floor (8063.5)     		tx = 8063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242401123046875 × 214)
    floor (0.242401123046875 × 16384)
    floor (3971.5)     		ty = 3971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8063 / 3971 ti = "14/8063/3971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8063/3971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8063 ÷ 214
    8063 ÷ 16384     		x = 0.49212646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3971 ÷ 214
    3971 ÷ 16384     		y = 0.24237060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49212646484375 × 2 - 1) × π
    -0.0157470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04947088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24237060546875 × 2 - 1) × π
    0.5152587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.61873322637006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04947088} λ = -0.04947088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61873322637006))-π/2
    2×atan(5.04669324767566)-π/2
    2×1.37518067654377-π/2
    2.75036135308755-1.57079632675     		φ = 1.17956503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04947088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.834473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17956503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.584098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8063 KachelY 3971 -0.04947088 1.17956503 -2.834473 67.584098
    Oben rechts KachelX + 1 8064 KachelY 3971 -0.04908739 1.17956503 -2.812500 67.584098
    Unten links KachelX 8063 KachelY + 1 3972 -0.04947088 1.17941876 -2.834473 67.575717
    Unten rechts KachelX + 1 8064 KachelY + 1 3972 -0.04908739 1.17941876 -2.812500 67.575717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17956503-1.17941876) × R
    0.000146270000000115 × 6371000     		dl = 931.886170000732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17956503-1.17941876) × R
    0.000146270000000115 × 6371000     		dr = 931.886170000732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04947088--0.04908739) × cos(1.17956503) × R
    0.00038349 × 0.381326964196139 × 6371000     		do = 931.663678749807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04947088--0.04908739) × cos(1.17941876) × R
    0.00038349 × 0.381462177989466 × 6371000     		du = 931.994035089477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17956503)-sin(1.17941876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381326964196139-0.381462177989466)×R²
    abs(-0.04908739--0.04947088)×0.000135213793327538×R²
    0.00038349×0.000135213793327538×6371000²
    0.00038349×0.000135213793327538×40589641000000     		ar = 868358.426119736m²