Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8060 / 3452
↖ ↑ ↗
← N 71.552740°
W  2.900391°		 ← 773.13 m → N 71.552740°
W  2.878418°		 →
↑
773.25 m
↓
↑
773.25 m
↓
N 71.545786°
W  2.900391°		 ← 773.41 m →
597 931 m²		 N 71.545786°
W  2.878418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491973876953125 y=0.210723876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491973876953125 × 214)
    floor (0.491973876953125 × 16384)
    floor (8060.5)     		tx = 8060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210723876953125 × 214)
    floor (0.210723876953125 × 16384)
    floor (3452.5)     		ty = 3452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8060 / 3452 ti = "14/8060/3452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8060/3452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8060 ÷ 214
    8060 ÷ 16384     		x = 0.491943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3452 ÷ 214
    3452 ÷ 16384     		y = 0.210693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491943359375 × 2 - 1) × π
    -0.01611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05062137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210693359375 × 2 - 1) × π
    0.57861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.81776723359253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05062137} λ = -0.05062137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81776723359253))-π/2
    2×atan(6.15809350433747)-π/2
    2×1.4098136199856-π/2
    2.8196272399712-1.57079632675     		φ = 1.24883091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05062137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.900391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24883091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.552740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8060 KachelY 3452 -0.05062137 1.24883091 -2.900391 71.552740
    Oben rechts KachelX + 1 8061 KachelY 3452 -0.05023787 1.24883091 -2.878418 71.552740
    Unten links KachelX 8060 KachelY + 1 3453 -0.05062137 1.24870954 -2.900391 71.545786
    Unten rechts KachelX + 1 8061 KachelY + 1 3453 -0.05023787 1.24870954 -2.878418 71.545786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24883091-1.24870954) × R
    0.00012137000000001 × 6371000     		dl = 773.248270000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24883091-1.24870954) × R
    0.00012137000000001 × 6371000     		dr = 773.248270000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05062137--0.05023787) × cos(1.24883091) × R
    0.000383500000000002 × 0.316431595084411 × 6371000     		do = 773.130512990451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05062137--0.05023787) × cos(1.24870954) × R
    0.000383500000000002 × 0.316546726196189 × 6371000     		du = 773.411810360539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24883091)-sin(1.24870954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316431595084411-0.316546726196189)×R²
    abs(-0.05023787--0.05062137)×0.000115131111778188×R²
    0.000383500000000002×0.000115131111778188×6371000²
    0.000383500000000002×0.000115131111778188×40589641000000     		ar = 597930.588739239m²