Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80564 / 19044
↖ ↑ ↗
← N 77.709252°
E 41.275635°		 ← 65 m → N 77.709252°
E 41.278381°		 →
↑
64.98 m
↓
↑
64.98 m
↓
N 77.708667°
E 41.275635°		 ← 65.01 m →
4 224 m²		 N 77.708667°
E 41.278381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614658355712891 y=0.145298004150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614658355712891 × 217)
    floor (0.614658355712891 × 131072)
    floor (80564.5)     		tx = 80564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145298004150391 × 217)
    floor (0.145298004150391 × 131072)
    floor (19044.5)     		ty = 19044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80564 / 19044 ti = "17/80564/19044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80564/19044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80564 ÷ 217
    80564 ÷ 131072     		x = 0.614654541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19044 ÷ 217
    19044 ÷ 131072     		y = 0.145294189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614654541015625 × 2 - 1) × π
    0.22930908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.72039573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145294189453125 × 2 - 1) × π
    0.70941162109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.22868233713565
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72039573} λ = 0.72039573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22868233713565))-π/2
    2×atan(9.28762006114086)-π/2
    2×1.4635393158011-π/2
    2.9270786316022-1.57079632675     		φ = 1.35628230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72039573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.275635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35628230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.709252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80564 KachelY 19044 0.72039573 1.35628230 41.275635 77.709252
    Oben rechts KachelX + 1 80565 KachelY 19044 0.72044366 1.35628230 41.278381 77.709252
    Unten links KachelX 80564 KachelY + 1 19045 0.72039573 1.35627210 41.275635 77.708667
    Unten rechts KachelX + 1 80565 KachelY + 1 19045 0.72044366 1.35627210 41.278381 77.708667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35628230-1.35627210) × R
    1.01999999999602e-05 × 6371000     		dl = 64.9841999997467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35628230-1.35627210) × R
    1.01999999999602e-05 × 6371000     		dr = 64.9841999997467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72039573-0.72044366) × cos(1.35628230) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.212872618776742 × 6371000     		do = 65.0032150011218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72039573-0.72044366) × cos(1.35627210) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.21288258498126 × 6371000     		du = 65.0062583015647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35628230)-sin(1.35627210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212872618776742-0.21288258498126)×R²
    abs(0.72044366-0.72039573)×9.96620451784724e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.96620451784724e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.96620451784724e-06×40589641000000     		ar = 4224.28080763754m²