Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80559 / 19045
↖ ↑ ↗
← N 77.708667°
E 41.261902°		 ← 65.02 m → N 77.708667°
E 41.264648°		 →
↑
65.05 m
↓
↑
65.05 m
↓
N 77.708082°
E 41.261902°		 ← 65.02 m →
4 230 m²		 N 77.708082°
E 41.264648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614620208740234 y=0.145305633544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614620208740234 × 217)
    floor (0.614620208740234 × 131072)
    floor (80559.5)     		tx = 80559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145305633544922 × 217)
    floor (0.145305633544922 × 131072)
    floor (19045.5)     		ty = 19045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80559 / 19045 ti = "17/80559/19045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80559/19045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80559 ÷ 217
    80559 ÷ 131072     		x = 0.614616394042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19045 ÷ 217
    19045 ÷ 131072     		y = 0.145301818847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614616394042969 × 2 - 1) × π
    0.229232788085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.72015604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145301818847656 × 2 - 1) × π
    0.709396362304688 × 3.1415926535     		Φ = 2.22863440023603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72015604} λ = 0.72015604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22863440023603))-π/2
    2×atan(9.28717485210134)-π/2
    2×1.46353421345504-π/2
    2.92706842691008-1.57079632675     		φ = 1.35627210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72015604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.261902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35627210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.708667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80559 KachelY 19045 0.72015604 1.35627210 41.261902 77.708667
    Oben rechts KachelX + 1 80560 KachelY 19045 0.72020398 1.35627210 41.264648 77.708667
    Unten links KachelX 80559 KachelY + 1 19046 0.72015604 1.35626189 41.261902 77.708082
    Unten rechts KachelX + 1 80560 KachelY + 1 19046 0.72020398 1.35626189 41.264648 77.708082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35627210-1.35626189) × R
    1.02099999998995e-05 × 6371000     		dl = 65.0479099993595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35627210-1.35626189) × R
    1.02099999998995e-05 × 6371000     		dr = 65.0479099993595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72015604-0.72020398) × cos(1.35627210) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21288258498126 × 6371000     		do = 65.0198210509715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72015604-0.72020398) × cos(1.35626189) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212892560934385 × 6371000     		du = 65.022867963837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35627210)-sin(1.35626189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21288258498126-0.212892560934385)×R²
    abs(0.72020398-0.72015604)×9.97595312562938e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.97595312562938e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.97595312562938e-06×40589641000000     		ar = 4229.50256549381m²