Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80557 / 19095
↖ ↑ ↗
← N 77.679398°
E 41.256409°		 ← 65.17 m → N 77.679398°
E 41.259155°		 →
↑
65.18 m
↓
↑
65.18 m
↓
N 77.678812°
E 41.256409°		 ← 65.18 m →
4 248 m²		 N 77.678812°
E 41.259155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614604949951172 y=0.145687103271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614604949951172 × 217)
    floor (0.614604949951172 × 131072)
    floor (80557.5)     		tx = 80557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145687103271484 × 217)
    floor (0.145687103271484 × 131072)
    floor (19095.5)     		ty = 19095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80557 / 19095 ti = "17/80557/19095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80557/19095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80557 ÷ 217
    80557 ÷ 131072     		x = 0.614601135253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19095 ÷ 217
    19095 ÷ 131072     		y = 0.145683288574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614601135253906 × 2 - 1) × π
    0.229202270507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.72006017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145683288574219 × 2 - 1) × π
    0.708633422851562 × 3.1415926535     		Φ = 2.22623755525503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72006017} λ = 0.72006017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22623755525503))-π/2
    2×atan(9.26494158915566)-π/2
    2×1.46327879121815-π/2
    2.9265575824363-1.57079632675     		φ = 1.35576126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72006017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.256409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35576126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.679398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80557 KachelY 19095 0.72006017 1.35576126 41.256409 77.679398
    Oben rechts KachelX + 1 80558 KachelY 19095 0.72010811 1.35576126 41.259155 77.679398
    Unten links KachelX 80557 KachelY + 1 19096 0.72006017 1.35575103 41.256409 77.678812
    Unten rechts KachelX + 1 80558 KachelY + 1 19096 0.72010811 1.35575103 41.259155 77.678812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35576126-1.35575103) × R
    1.023e-05 × 6371000     		dl = 65.1753299999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35576126-1.35575103) × R
    1.023e-05 × 6371000     		dr = 65.1753299999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72006017-0.72010811) × cos(1.35576126) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213381687600435 × 6371000     		do = 65.172259837769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72006017-0.72010811) × cos(1.35575103) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213391681981241 × 6371000     		du = 65.1753123789226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35576126)-sin(1.35575103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213381687600435-0.213391681981241)×R²
    abs(0.72010811-0.72006017)×9.99438080609427e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.99438080609427e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.99438080609427e-06×40589641000000     		ar = 4247.72301685555m²