Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80556 / 19076
↖ ↑ ↗
← N 77.690529°
E 41.253662°		 ← 65.11 m → N 77.690529°
E 41.256409°		 →
↑
65.11 m
↓
↑
65.11 m
↓
N 77.689943°
E 41.253662°		 ← 65.12 m →
4 240 m²		 N 77.689943°
E 41.256409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614597320556641 y=0.145542144775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614597320556641 × 217)
    floor (0.614597320556641 × 131072)
    floor (80556.5)     		tx = 80556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145542144775391 × 217)
    floor (0.145542144775391 × 131072)
    floor (19076.5)     		ty = 19076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80556 / 19076 ti = "17/80556/19076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80556/19076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80556 ÷ 217
    80556 ÷ 131072     		x = 0.614593505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19076 ÷ 217
    19076 ÷ 131072     		y = 0.145538330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614593505859375 × 2 - 1) × π
    0.22918701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.72001223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145538330078125 × 2 - 1) × π
    0.70892333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.22714835634781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.72001223} λ = 0.72001223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22714835634781))-π/2
    2×atan(9.27338395215272)-π/2
    2×1.46337592213546-π/2
    2.92675184427092-1.57079632675     		φ = 1.35595552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.72001223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.253662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35595552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.690529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80556 KachelY 19076 0.72001223 1.35595552 41.253662 77.690529
    Oben rechts KachelX + 1 80557 KachelY 19076 0.72006017 1.35595552 41.256409 77.690529
    Unten links KachelX 80556 KachelY + 1 19077 0.72001223 1.35594530 41.253662 77.689943
    Unten rechts KachelX + 1 80557 KachelY + 1 19077 0.72006017 1.35594530 41.256409 77.689943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35595552-1.35594530) × R
    1.02200000000607e-05 × 6371000     		dl = 65.1116200003869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35595552-1.35594530) × R
    1.02200000000607e-05 × 6371000     		dr = 65.1116200003869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.72001223-0.72006017) × cos(1.35595552) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213191897594559 × 6371000     		do = 65.1142930847797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.72001223-0.72006017) × cos(1.35594530) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213201882629154 × 6371000     		du = 65.1173427713598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35595552)-sin(1.35594530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213191897594559-0.213201882629154)×R²
    abs(0.72006017-0.72001223)×9.98503459495592e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.98503459495592e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.98503459495592e-06×40589641000000     		ar = 4239.79639300237m²