Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80553 / 19080
↖ ↑ ↗
← N 77.688186°
E 41.245422°		 ← 65.13 m → N 77.688186°
E 41.248169°		 →
↑
65.11 m
↓
↑
65.11 m
↓
N 77.687600°
E 41.245422°		 ← 65.13 m →
4 241 m²		 N 77.687600°
E 41.248169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614574432373047 y=0.145572662353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614574432373047 × 217)
    floor (0.614574432373047 × 131072)
    floor (80553.5)     		tx = 80553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145572662353516 × 217)
    floor (0.145572662353516 × 131072)
    floor (19080.5)     		ty = 19080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80553 / 19080 ti = "17/80553/19080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80553/19080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80553 ÷ 217
    80553 ÷ 131072     		x = 0.614570617675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19080 ÷ 217
    19080 ÷ 131072     		y = 0.14556884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614570617675781 × 2 - 1) × π
    0.229141235351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.71986842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14556884765625 × 2 - 1) × π
    0.7088623046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.22695660874933
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71986842} λ = 0.71986842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22695660874933))-π/2
    2×atan(9.27160597351712)-π/2
    2×1.46335548070336-π/2
    2.92671096140672-1.57079632675     		φ = 1.35591463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71986842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.245422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35591463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.688186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80553 KachelY 19080 0.71986842 1.35591463 41.245422 77.688186
    Oben rechts KachelX + 1 80554 KachelY 19080 0.71991636 1.35591463 41.248169 77.688186
    Unten links KachelX 80553 KachelY + 1 19081 0.71986842 1.35590441 41.245422 77.687600
    Unten rechts KachelX + 1 80554 KachelY + 1 19081 0.71991636 1.35590441 41.248169 77.687600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35591463-1.35590441) × R
    1.02200000000607e-05 × 6371000     		dl = 65.1116200003869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35591463-1.35590441) × R
    1.02200000000607e-05 × 6371000     		dr = 65.1116200003869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71986842-0.71991636) × cos(1.35591463) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.213231847369339 × 6371000     		do = 65.1264947744556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71986842-0.71991636) × cos(1.35590441) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.213241832314832 × 6371000     		du = 65.1295444338215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35591463)-sin(1.35590441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213231847369339-0.213241832314832)×R²
    abs(0.71991636-0.71986842)×9.98494549253603e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.98494549253603e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.98494549253603e-06×40589641000000     		ar = 4240.59086399663m²