Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80553 / 19073
↖ ↑ ↗
← N 77.692285°
E 41.245422°		 ← 65.11 m → N 77.692285°
E 41.248169°		 →
↑
65.05 m
↓
↑
65.05 m
↓
N 77.691700°
E 41.245422°		 ← 65.11 m →
4 235 m²		 N 77.691700°
E 41.248169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614574432373047 y=0.145519256591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614574432373047 × 217)
    floor (0.614574432373047 × 131072)
    floor (80553.5)     		tx = 80553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145519256591797 × 217)
    floor (0.145519256591797 × 131072)
    floor (19073.5)     		ty = 19073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80553 / 19073 ti = "17/80553/19073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80553/19073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80553 ÷ 217
    80553 ÷ 131072     		x = 0.614570617675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19073 ÷ 217
    19073 ÷ 131072     		y = 0.145515441894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614570617675781 × 2 - 1) × π
    0.229141235351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.71986842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145515441894531 × 2 - 1) × π
    0.708969116210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.22729216704667
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71986842} λ = 0.71986842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22729216704667))-π/2
    2×atan(9.2747176598781)-π/2
    2×1.46339125069664-π/2
    2.92678250139328-1.57079632675     		φ = 1.35598617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71986842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.245422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35598617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.692285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80553 KachelY 19073 0.71986842 1.35598617 41.245422 77.692285
    Oben rechts KachelX + 1 80554 KachelY 19073 0.71991636 1.35598617 41.248169 77.692285
    Unten links KachelX 80553 KachelY + 1 19074 0.71986842 1.35597596 41.245422 77.691700
    Unten rechts KachelX + 1 80554 KachelY + 1 19074 0.71991636 1.35597596 41.248169 77.691700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35598617-1.35597596) × R
    1.02099999998995e-05 × 6371000     		dl = 65.0479099993595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35598617-1.35597596) × R
    1.02099999998995e-05 × 6371000     		dr = 65.0479099993595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71986842-0.71991636) × cos(1.35598617) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.213161952127342 × 6371000     		do = 65.1051469684461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71986842-0.71991636) × cos(1.35597596) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.213171927458567 × 6371000     		du = 65.1081936913674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35598617)-sin(1.35597596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213161952127342-0.213171927458567)×R²
    abs(0.71991636-0.71986842)×9.97533122551464e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.97533122551464e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.97533122551464e-06×40589641000000     		ar = 4235.05283209607m²