Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80552 / 19082
↖ ↑ ↗
← N 77.687015°
E 41.242676°		 ← 65.13 m → N 77.687015°
E 41.245422°		 →
↑
65.11 m
↓
↑
65.11 m
↓
N 77.686429°
E 41.242676°		 ← 65.14 m →
4 241 m²		 N 77.686429°
E 41.245422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614566802978516 y=0.145587921142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614566802978516 × 217)
    floor (0.614566802978516 × 131072)
    floor (80552.5)     		tx = 80552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145587921142578 × 217)
    floor (0.145587921142578 × 131072)
    floor (19082.5)     		ty = 19082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80552 / 19082 ti = "17/80552/19082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80552/19082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80552 ÷ 217
    80552 ÷ 131072     		x = 0.61456298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19082 ÷ 217
    19082 ÷ 131072     		y = 0.145584106445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61456298828125 × 2 - 1) × π
    0.2291259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.71982048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145584106445312 × 2 - 1) × π
    0.708831787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.22686073495009
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71982048} λ = 0.71982048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22686073495009))-π/2
    2×atan(9.27071711203733)-π/2
    2×1.46334525855117-π/2
    2.92669051710234-1.57079632675     		φ = 1.35589419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71982048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.242676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35589419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.687015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80552 KachelY 19082 0.71982048 1.35589419 41.242676 77.687015
    Oben rechts KachelX + 1 80553 KachelY 19082 0.71986842 1.35589419 41.245422 77.687015
    Unten links KachelX 80552 KachelY + 1 19083 0.71982048 1.35588397 41.242676 77.686429
    Unten rechts KachelX + 1 80553 KachelY + 1 19083 0.71986842 1.35588397 41.245422 77.686429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35589419-1.35588397) × R
    1.02200000000607e-05 × 6371000     		dl = 65.1116200003869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35589419-1.35588397) × R
    1.02200000000607e-05 × 6371000     		dr = 65.1116200003869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71982048-0.71986842) × cos(1.35589419) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213251817238051 × 6371000     		do = 65.1325940862338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71982048-0.71986842) × cos(1.35588397) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213261802138997 × 6371000     		du = 65.1356437319941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35589419)-sin(1.35588397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213251817238051-0.213261802138997)×R²
    abs(0.71986842-0.71982048)×9.98490094591964e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.98490094591964e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.98490094591964e-06×40589641000000     		ar = 4240.98799945497m²