Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80550 / 19078
↖ ↑ ↗
← N 77.689357°
E 41.237183°		 ← 65.12 m → N 77.689357°
E 41.239929°		 →
↑
65.11 m
↓
↑
65.11 m
↓
N 77.688772°
E 41.237183°		 ← 65.12 m →
4 240 m²		 N 77.688772°
E 41.239929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614551544189453 y=0.145557403564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614551544189453 × 217)
    floor (0.614551544189453 × 131072)
    floor (80550.5)     		tx = 80550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145557403564453 × 217)
    floor (0.145557403564453 × 131072)
    floor (19078.5)     		ty = 19078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80550 / 19078 ti = "17/80550/19078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80550/19078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80550 ÷ 217
    80550 ÷ 131072     		x = 0.614547729492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19078 ÷ 217
    19078 ÷ 131072     		y = 0.145553588867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614547729492188 × 2 - 1) × π
    0.229095458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.71972461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145553588867188 × 2 - 1) × π
    0.708892822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.22705248254857
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71972461} λ = 0.71972461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22705248254857))-π/2
    2×atan(9.27249492021953)-π/2
    2×1.46336570189809-π/2
    2.92673140379619-1.57079632675     		φ = 1.35593508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71972461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.237183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35593508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.689357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80550 KachelY 19078 0.71972461 1.35593508 41.237183 77.689357
    Oben rechts KachelX + 1 80551 KachelY 19078 0.71977255 1.35593508 41.239929 77.689357
    Unten links KachelX 80550 KachelY + 1 19079 0.71972461 1.35592486 41.237183 77.688772
    Unten rechts KachelX + 1 80551 KachelY + 1 19079 0.71977255 1.35592486 41.239929 77.688772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35593508-1.35592486) × R
    1.02200000000607e-05 × 6371000     		dl = 65.1116200003869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35593508-1.35592486) × R
    1.02200000000607e-05 × 6371000     		dr = 65.1116200003869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71972461-0.71977255) × cos(1.35593508) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21321186764148 × 6371000     		do = 65.1203924511384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71972461-0.71977255) × cos(1.35592486) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213221852631537 × 6371000     		du = 65.1234421241154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35593508)-sin(1.35592486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21321186764148-0.213221852631537)×R²
    abs(0.71977255-0.71972461)×9.98499005672171e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.98499005672171e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.98499005672171e-06×40589641000000     		ar = 4240.19353235916m²