Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80545 / 19021
↖ ↑ ↗
← N 77.722692°
E 41.223450°		 ← 64.93 m → N 77.722692°
E 41.226196°		 →
↑
64.92 m
↓
↑
64.92 m
↓
N 77.722108°
E 41.223450°		 ← 64.94 m →
4 216 m²		 N 77.722108°
E 41.226196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614513397216797 y=0.145122528076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614513397216797 × 217)
    floor (0.614513397216797 × 131072)
    floor (80545.5)     		tx = 80545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145122528076172 × 217)
    floor (0.145122528076172 × 131072)
    floor (19021.5)     		ty = 19021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80545 / 19021 ti = "17/80545/19021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80545/19021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80545 ÷ 217
    80545 ÷ 131072     		x = 0.614509582519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19021 ÷ 217
    19021 ÷ 131072     		y = 0.145118713378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614509582519531 × 2 - 1) × π
    0.229019165039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.71948493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145118713378906 × 2 - 1) × π
    0.709762573242188 × 3.1415926535     		Φ = 2.22978488582691
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71948493} λ = 0.71948493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22978488582691))-π/2
    2×atan(9.29786576163814)-π/2
    2×1.46365660382379-π/2
    2.92731320764758-1.57079632675     		φ = 1.35651688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71948493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.223450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35651688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.722692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80545 KachelY 19021 0.71948493 1.35651688 41.223450 77.722692
    Oben rechts KachelX + 1 80546 KachelY 19021 0.71953286 1.35651688 41.226196 77.722692
    Unten links KachelX 80545 KachelY + 1 19022 0.71948493 1.35650669 41.223450 77.722108
    Unten rechts KachelX + 1 80546 KachelY + 1 19022 0.71953286 1.35650669 41.226196 77.722108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35651688-1.35650669) × R
    1.0190000000021e-05 × 6371000     		dl = 64.9204900001339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35651688-1.35650669) × R
    1.0190000000021e-05 × 6371000     		dr = 64.9204900001339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71948493-0.71953286) × cos(1.35651688) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.212643409504881 × 6371000     		do = 64.9332231925713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71948493-0.71953286) × cos(1.35650669) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.212653366447203 × 6371000     		du = 64.9362636646915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35651688)-sin(1.35650669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212643409504881-0.212653366447203)×R²
    abs(0.71953286-0.71948493)×9.95694232233668e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.95694232233668e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.95694232233668e-06×40589641000000     		ar = 4215.59536134198m²