Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80544 / 19089
↖ ↑ ↗
← N 77.682914°
E 41.220703°		 ← 65.15 m → N 77.682914°
E 41.223450°		 →
↑
65.18 m
↓
↑
65.18 m
↓
N 77.682328°
E 41.220703°		 ← 65.16 m →
4 247 m²		 N 77.682328°
E 41.223450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614505767822266 y=0.145641326904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614505767822266 × 217)
    floor (0.614505767822266 × 131072)
    floor (80544.5)     		tx = 80544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145641326904297 × 217)
    floor (0.145641326904297 × 131072)
    floor (19089.5)     		ty = 19089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80544 / 19089 ti = "17/80544/19089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80544/19089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80544 ÷ 217
    80544 ÷ 131072     		x = 0.614501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19089 ÷ 217
    19089 ÷ 131072     		y = 0.145637512207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614501953125 × 2 - 1) × π
    0.22900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.71943699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145637512207031 × 2 - 1) × π
    0.708724975585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.22652517665275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71943699} λ = 0.71943699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22652517665275))-π/2
    2×atan(9.26760676786817)-π/2
    2×1.46330947347734-π/2
    2.92661894695469-1.57079632675     		φ = 1.35582262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71943699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.220703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35582262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.682914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80544 KachelY 19089 0.71943699 1.35582262 41.220703 77.682914
    Oben rechts KachelX + 1 80545 KachelY 19089 0.71948493 1.35582262 41.223450 77.682914
    Unten links KachelX 80544 KachelY + 1 19090 0.71943699 1.35581239 41.220703 77.682328
    Unten rechts KachelX + 1 80545 KachelY + 1 19090 0.71948493 1.35581239 41.223450 77.682328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35582262-1.35581239) × R
    1.023e-05 × 6371000     		dl = 65.1753299999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35582262-1.35581239) × R
    1.023e-05 × 6371000     		dr = 65.1753299999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71943699-0.71948493) × cos(1.35582262) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213321740386324 × 6371000     		do = 65.1539504155382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71943699-0.71948493) × cos(1.35581239) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213331734901057 × 6371000     		du = 65.1570029975964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35582262)-sin(1.35581239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213321740386324-0.213331734901057)×R²
    abs(0.71948493-0.71943699)×9.99451473282509e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.99451473282509e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.99451473282509e-06×40589641000000     		ar = 4246.52969573572m²