Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80542 / 19101
↖ ↑ ↗
← N 77.675881°
E 41.215210°		 ← 65.18 m → N 77.675881°
E 41.217956°		 →
↑
65.18 m
↓
↑
65.18 m
↓
N 77.675295°
E 41.215210°		 ← 65.18 m →
4 248 m²		 N 77.675295°
E 41.217956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614490509033203 y=0.145732879638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614490509033203 × 217)
    floor (0.614490509033203 × 131072)
    floor (80542.5)     		tx = 80542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145732879638672 × 217)
    floor (0.145732879638672 × 131072)
    floor (19101.5)     		ty = 19101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80542 / 19101 ti = "17/80542/19101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80542/19101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80542 ÷ 217
    80542 ÷ 131072     		x = 0.614486694335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19101 ÷ 217
    19101 ÷ 131072     		y = 0.145729064941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614486694335938 × 2 - 1) × π
    0.228973388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.71934112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145729064941406 × 2 - 1) × π
    0.708541870117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.22594993385731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71934112} λ = 0.71934112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22594993385731))-π/2
    2×atan(9.26227717689535)-π/2
    2×1.46324810033611-π/2
    2.92649620067223-1.57079632675     		φ = 1.35569987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71934112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.215210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35569987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.675881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80542 KachelY 19101 0.71934112 1.35569987 41.215210 77.675881
    Oben rechts KachelX + 1 80543 KachelY 19101 0.71938905 1.35569987 41.217956 77.675881
    Unten links KachelX 80542 KachelY + 1 19102 0.71934112 1.35568964 41.215210 77.675295
    Unten rechts KachelX + 1 80543 KachelY + 1 19102 0.71938905 1.35568964 41.217956 77.675295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35569987-1.35568964) × R
    1.023e-05 × 6371000     		dl = 65.1753299999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35569987-1.35568964) × R
    1.023e-05 × 6371000     		dr = 65.1753299999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71934112-0.71938905) × cos(1.35569987) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.213441663319828 × 6371000     		do = 65.1769795979591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71934112-0.71938905) × cos(1.35568964) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.213451657566604 × 6371000     		du = 65.180031461443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35569987)-sin(1.35568964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213441663319828-0.213451657566604)×R²
    abs(0.71938905-0.71934112)×9.99424677619598e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.99424677619598e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.99424677619598e-06×40589641000000     		ar = 4248.03060682426m²