Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80541 / 19105
↖ ↑ ↗
← N 77.673536°
E 41.212463°		 ← 65.20 m → N 77.673536°
E 41.215210°		 →
↑
65.18 m
↓
↑
65.18 m
↓
N 77.672950°
E 41.212463°		 ← 65.21 m →
4 250 m²		 N 77.672950°
E 41.215210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614482879638672 y=0.145763397216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614482879638672 × 217)
    floor (0.614482879638672 × 131072)
    floor (80541.5)     		tx = 80541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145763397216797 × 217)
    floor (0.145763397216797 × 131072)
    floor (19105.5)     		ty = 19105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80541 / 19105 ti = "17/80541/19105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80541/19105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80541 ÷ 217
    80541 ÷ 131072     		x = 0.614479064941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19105 ÷ 217
    19105 ÷ 131072     		y = 0.145759582519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614479064941406 × 2 - 1) × π
    0.228958129882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.71929318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145759582519531 × 2 - 1) × π
    0.708480834960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.22575818625883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71929318} λ = 0.71929318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22575818625883))-π/2
    2×atan(9.26050132775307)-π/2
    2×1.46322763495649-π/2
    2.92645526991297-1.57079632675     		φ = 1.35565894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71929318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.212463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35565894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.673536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80541 KachelY 19105 0.71929318 1.35565894 41.212463 77.673536
    Oben rechts KachelX + 1 80542 KachelY 19105 0.71934112 1.35565894 41.215210 77.673536
    Unten links KachelX 80541 KachelY + 1 19106 0.71929318 1.35564871 41.212463 77.672950
    Unten rechts KachelX + 1 80542 KachelY + 1 19106 0.71934112 1.35564871 41.215210 77.672950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35565894-1.35564871) × R
    1.023e-05 × 6371000     		dl = 65.1753299999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35565894-1.35564871) × R
    1.023e-05 × 6371000     		dr = 65.1753299999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71929318-0.71934112) × cos(1.35565894) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213481649942369 × 6371000     		do = 65.2027909100264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71929318-0.71934112) × cos(1.35564871) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213491644099764 × 6371000     		du = 65.2058433829443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35565894)-sin(1.35564871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213481649942369-0.213491644099764)×R²
    abs(0.71934112-0.71929318)×9.99415739474929e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.99415739474929e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.99415739474929e-06×40589641000000     		ar = 4249.71288764549m²