Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80541 / 19104
↖ ↑ ↗
← N 77.674122°
E 41.212463°		 ← 65.20 m → N 77.674122°
E 41.215210°		 →
↑
65.24 m
↓
↑
65.24 m
↓
N 77.673536°
E 41.212463°		 ← 65.20 m →
4 254 m²		 N 77.673536°
E 41.215210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614482879638672 y=0.145755767822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614482879638672 × 217)
    floor (0.614482879638672 × 131072)
    floor (80541.5)     		tx = 80541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145755767822266 × 217)
    floor (0.145755767822266 × 131072)
    floor (19104.5)     		ty = 19104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80541 / 19104 ti = "17/80541/19104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80541/19104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80541 ÷ 217
    80541 ÷ 131072     		x = 0.614479064941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19104 ÷ 217
    19104 ÷ 131072     		y = 0.145751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614479064941406 × 2 - 1) × π
    0.228958129882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.71929318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145751953125 × 2 - 1) × π
    0.70849609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.22580612315845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71929318} λ = 0.71929318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22580612315845))-π/2
    2×atan(9.26094525811588)-π/2
    2×1.46323275166081-π/2
    2.92646550332162-1.57079632675     		φ = 1.35566918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71929318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.212463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35566918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.674122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80541 KachelY 19104 0.71929318 1.35566918 41.212463 77.674122
    Oben rechts KachelX + 1 80542 KachelY 19104 0.71934112 1.35566918 41.215210 77.674122
    Unten links KachelX 80541 KachelY + 1 19105 0.71929318 1.35565894 41.212463 77.673536
    Unten rechts KachelX + 1 80542 KachelY + 1 19105 0.71934112 1.35565894 41.215210 77.673536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35566918-1.35565894) × R
    1.02399999999392e-05 × 6371000     		dl = 65.2390399996126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35566918-1.35565894) × R
    1.02399999999392e-05 × 6371000     		dr = 65.2390399996126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71929318-0.71934112) × cos(1.35566918) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213471645993141 × 6371000     		do = 65.1997354464302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71929318-0.71934112) × cos(1.35565894) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213481649942369 × 6371000     		du = 65.2027909100264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35566918)-sin(1.35565894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213471645993141-0.213481649942369)×R²
    abs(0.71934112-0.71929318)×1.00039492287596e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00039492287596e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00039492287596e-05×40589641000000     		ar = 4253.66781656244m²