Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80540 / 19020
↖ ↑ ↗
← N 77.723276°
E 41.209717°		 ← 64.94 m → N 77.723276°
E 41.212463°		 →
↑
64.92 m
↓
↑
64.92 m
↓
N 77.722692°
E 41.209717°		 ← 64.95 m →
4 216 m²		 N 77.722692°
E 41.212463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614475250244141 y=0.145114898681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614475250244141 × 217)
    floor (0.614475250244141 × 131072)
    floor (80540.5)     		tx = 80540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145114898681641 × 217)
    floor (0.145114898681641 × 131072)
    floor (19020.5)     		ty = 19020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80540 / 19020 ti = "17/80540/19020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80540/19020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80540 ÷ 217
    80540 ÷ 131072     		x = 0.614471435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19020 ÷ 217
    19020 ÷ 131072     		y = 0.145111083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614471435546875 × 2 - 1) × π
    0.22894287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.71924524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145111083984375 × 2 - 1) × π
    0.70977783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22983282272653
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71924524} λ = 0.71924524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22983282272653))-π/2
    2×atan(9.298311483179)-π/2
    2×1.46366170043729-π/2
    2.92732340087459-1.57079632675     		φ = 1.35652707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71924524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.209717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35652707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.723276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80540 KachelY 19020 0.71924524 1.35652707 41.209717 77.723276
    Oben rechts KachelX + 1 80541 KachelY 19020 0.71929318 1.35652707 41.212463 77.723276
    Unten links KachelX 80540 KachelY + 1 19021 0.71924524 1.35651688 41.209717 77.722692
    Unten rechts KachelX + 1 80541 KachelY + 1 19021 0.71929318 1.35651688 41.212463 77.722692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35652707-1.35651688) × R
    1.0190000000021e-05 × 6371000     		dl = 64.9204900001339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35652707-1.35651688) × R
    1.0190000000021e-05 × 6371000     		dr = 64.9204900001339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71924524-0.71929318) × cos(1.35652707) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212633452540478 × 6371000     		do = 64.9437295908878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71924524-0.71929318) × cos(1.35651688) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212643409504881 × 6371000     		du = 64.9467707041086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35652707)-sin(1.35651688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212633452540478-0.212643409504881)×R²
    abs(0.71929318-0.71924524)×9.95696440239668e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.95696440239668e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.95696440239668e-06×40589641000000     		ar = 4216.27746281714m²