Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80539 / 19102
↖ ↑ ↗
← N 77.675295°
E 41.206970°		 ← 65.19 m → N 77.675295°
E 41.209717°		 →
↑
65.18 m
↓
↑
65.18 m
↓
N 77.674709°
E 41.206970°		 ← 65.20 m →
4 249 m²		 N 77.674709°
E 41.209717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614467620849609 y=0.145740509033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614467620849609 × 217)
    floor (0.614467620849609 × 131072)
    floor (80539.5)     		tx = 80539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145740509033203 × 217)
    floor (0.145740509033203 × 131072)
    floor (19102.5)     		ty = 19102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80539 / 19102 ti = "17/80539/19102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80539/19102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80539 ÷ 217
    80539 ÷ 131072     		x = 0.614463806152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19102 ÷ 217
    19102 ÷ 131072     		y = 0.145736694335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614463806152344 × 2 - 1) × π
    0.228927612304688 × 3.1415926535     		Λ = 0.71919730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145736694335938 × 2 - 1) × π
    0.708526611328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22590199695769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71919730} λ = 0.71919730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22590199695769))-π/2
    2×atan(9.261833182686)-π/2
    2×1.46324298435061-π/2
    2.92648596870123-1.57079632675     		φ = 1.35568964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71919730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.206970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35568964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.675295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80539 KachelY 19102 0.71919730 1.35568964 41.206970 77.675295
    Oben rechts KachelX + 1 80540 KachelY 19102 0.71924524 1.35568964 41.209717 77.675295
    Unten links KachelX 80539 KachelY + 1 19103 0.71919730 1.35567941 41.206970 77.674709
    Unten rechts KachelX + 1 80540 KachelY + 1 19103 0.71924524 1.35567941 41.209717 77.674709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35568964-1.35567941) × R
    1.023e-05 × 6371000     		dl = 65.1753299999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35568964-1.35567941) × R
    1.023e-05 × 6371000     		dr = 65.1753299999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71919730-0.71924524) × cos(1.35568964) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213451657566604 × 6371000     		do = 65.1936304664639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71919730-0.71924524) × cos(1.35567941) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213461651791042 × 6371000     		du = 65.1966829598586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35568964)-sin(1.35567941))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213451657566604-0.213461651791042)×R²
    abs(0.71924524-0.71919730)×9.99422443787035e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.99422443787035e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.99422443787035e-06×40589641000000     		ar = 4249.11585334558m²