Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80538 / 19052
↖ ↑ ↗
← N 77.704573°
E 41.204224°		 ← 65.03 m → N 77.704573°
E 41.206970°		 →
↑
64.98 m
↓
↑
64.98 m
↓
N 77.703989°
E 41.204224°		 ← 65.03 m →
4 226 m²		 N 77.703989°
E 41.206970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614459991455078 y=0.145359039306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614459991455078 × 217)
    floor (0.614459991455078 × 131072)
    floor (80538.5)     		tx = 80538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145359039306641 × 217)
    floor (0.145359039306641 × 131072)
    floor (19052.5)     		ty = 19052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80538 / 19052 ti = "17/80538/19052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80538/19052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80538 ÷ 217
    80538 ÷ 131072     		x = 0.614456176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19052 ÷ 217
    19052 ÷ 131072     		y = 0.145355224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614456176757812 × 2 - 1) × π
    0.228912353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.71914937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145355224609375 × 2 - 1) × π
    0.70928955078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22829884193869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71914937} λ = 0.71914937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22829884193869))-π/2
    2×atan(9.28405898632741)-π/2
    2×1.46349849034033-π/2
    2.92699698068066-1.57079632675     		φ = 1.35620065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71914937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.204224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35620065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.704573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80538 KachelY 19052 0.71914937 1.35620065 41.204224 77.704573
    Oben rechts KachelX + 1 80539 KachelY 19052 0.71919730 1.35620065 41.206970 77.704573
    Unten links KachelX 80538 KachelY + 1 19053 0.71914937 1.35619045 41.204224 77.703989
    Unten rechts KachelX + 1 80539 KachelY + 1 19053 0.71919730 1.35619045 41.206970 77.703989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35620065-1.35619045) × R
    1.01999999999602e-05 × 6371000     		dl = 64.9841999997467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35620065-1.35619045) × R
    1.01999999999602e-05 × 6371000     		dr = 64.9841999997467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71914937-0.71919730) × cos(1.35620065) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.212952396645803 × 6371000     		do = 65.0275761331675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71914937-0.71919730) × cos(1.35619045) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.212962362672997 × 6371000     		du = 65.0306193794624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35620065)-sin(1.35619045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212952396645803-0.212962362672997)×R²
    abs(0.71919730-0.71914937)×9.96602719377515e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.96602719377515e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.96602719377515e-06×40589641000000     		ar = 4225.86389444413m²