Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80537 / 19001
↖ ↑ ↗
← N 77.734367°
E 41.201477°		 ← 64.89 m → N 77.734367°
E 41.204224°		 →
↑
64.86 m
↓
↑
64.86 m
↓
N 77.733784°
E 41.201477°		 ← 64.89 m →
4 208 m²		 N 77.733784°
E 41.204224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614452362060547 y=0.144969940185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614452362060547 × 217)
    floor (0.614452362060547 × 131072)
    floor (80537.5)     		tx = 80537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144969940185547 × 217)
    floor (0.144969940185547 × 131072)
    floor (19001.5)     		ty = 19001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80537 / 19001 ti = "17/80537/19001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80537/19001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80537 ÷ 217
    80537 ÷ 131072     		x = 0.614448547363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19001 ÷ 217
    19001 ÷ 131072     		y = 0.144966125488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614448547363281 × 2 - 1) × π
    0.228897094726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.71910143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144966125488281 × 2 - 1) × π
    0.710067749023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.23074362381931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71910143} λ = 0.71910143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23074362381931))-π/2
    2×atan(9.30678425335735)-π/2
    2×1.46375849074858-π/2
    2.92751698149715-1.57079632675     		φ = 1.35672065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71910143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.201477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35672065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.734367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80537 KachelY 19001 0.71910143 1.35672065 41.201477 77.734367
    Oben rechts KachelX + 1 80538 KachelY 19001 0.71914937 1.35672065 41.204224 77.734367
    Unten links KachelX 80537 KachelY + 1 19002 0.71910143 1.35671047 41.201477 77.733784
    Unten rechts KachelX + 1 80538 KachelY + 1 19002 0.71914937 1.35671047 41.204224 77.733784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35672065-1.35671047) × R
    1.01800000000818e-05 × 6371000     		dl = 64.8567800005211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35672065-1.35671047) × R
    1.01800000000818e-05 × 6371000     		dr = 64.8567800005211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71910143-0.71914937) × cos(1.35672065) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212444295338192 × 6371000     		do = 64.8859561124032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71910143-0.71914937) × cos(1.35671047) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212454242950144 × 6371000     		du = 64.8889943691449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35672065)-sin(1.35671047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212444295338192-0.212454242950144)×R²
    abs(0.71914937-0.71910143)×9.94761195211025e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.94761195211025e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.94761195211025e-06×40589641000000     		ar = 4208.39270648453m²