Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80536 / 19064
↖ ↑ ↗
← N 77.697553°
E 41.198730°		 ← 65.08 m → N 77.697553°
E 41.201477°		 →
↑
65.05 m
↓
↑
65.05 m
↓
N 77.696968°
E 41.198730°		 ← 65.08 m →
4 233 m²		 N 77.696968°
E 41.201477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614444732666016 y=0.145450592041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614444732666016 × 217)
    floor (0.614444732666016 × 131072)
    floor (80536.5)     		tx = 80536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145450592041016 × 217)
    floor (0.145450592041016 × 131072)
    floor (19064.5)     		ty = 19064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80536 / 19064 ti = "17/80536/19064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80536/19064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80536 ÷ 217
    80536 ÷ 131072     		x = 0.61444091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19064 ÷ 217
    19064 ÷ 131072     		y = 0.14544677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61444091796875 × 2 - 1) × π
    0.2288818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.71905349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14544677734375 × 2 - 1) × π
    0.7091064453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22772359914325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71905349} λ = 0.71905349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22772359914325))-π/2
    2×atan(9.27871993405598)-π/2
    2×1.46343722345974-π/2
    2.92687444691949-1.57079632675     		φ = 1.35607812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71905349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.198730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35607812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.697553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80536 KachelY 19064 0.71905349 1.35607812 41.198730 77.697553
    Oben rechts KachelX + 1 80537 KachelY 19064 0.71910143 1.35607812 41.201477 77.697553
    Unten links KachelX 80536 KachelY + 1 19065 0.71905349 1.35606791 41.198730 77.696968
    Unten rechts KachelX + 1 80537 KachelY + 1 19065 0.71910143 1.35606791 41.201477 77.696968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35607812-1.35606791) × R
    1.02100000001215e-05 × 6371000     		dl = 65.0479100007742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35607812-1.35606791) × R
    1.02100000001215e-05 × 6371000     		dr = 65.0479100007742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71905349-0.71910143) × cos(1.35607812) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.213072114524309 × 6371000     		do = 65.0777082520597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71905349-0.71910143) × cos(1.35606791) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.213082090055615 × 6371000     		du = 65.080755036091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35607812)-sin(1.35606791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213072114524309-0.213082090055615)×R²
    abs(0.71910143-0.71905349)×9.97553130671625e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.97553130671625e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.97553130671625e-06×40589641000000     		ar = 4233.26800305942m²