Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80535 / 19043
↖ ↑ ↗
← N 77.709837°
E 41.195984°		 ← 65 m → N 77.709837°
E 41.198730°		 →
↑
65.05 m
↓
↑
65.05 m
↓
N 77.709252°
E 41.195984°		 ← 65 m →
4 228 m²		 N 77.709252°
E 41.198730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614437103271484 y=0.145290374755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614437103271484 × 217)
    floor (0.614437103271484 × 131072)
    floor (80535.5)     		tx = 80535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145290374755859 × 217)
    floor (0.145290374755859 × 131072)
    floor (19043.5)     		ty = 19043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80535 / 19043 ti = "17/80535/19043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80535/19043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80535 ÷ 217
    80535 ÷ 131072     		x = 0.614433288574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19043 ÷ 217
    19043 ÷ 131072     		y = 0.145286560058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614433288574219 × 2 - 1) × π
    0.228866577148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.71900556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145286560058594 × 2 - 1) × π
    0.709426879882812 × 3.1415926535     		Φ = 2.22873027403527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71900556} λ = 0.71900556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22873027403527))-π/2
    2×atan(9.28806529152284)-π/2
    2×1.46354441790818-π/2
    2.92708883581635-1.57079632675     		φ = 1.35629251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71900556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.195984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35629251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.709837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80535 KachelY 19043 0.71900556 1.35629251 41.195984 77.709837
    Oben rechts KachelX + 1 80536 KachelY 19043 0.71905349 1.35629251 41.198730 77.709837
    Unten links KachelX 80535 KachelY + 1 19044 0.71900556 1.35628230 41.195984 77.709252
    Unten rechts KachelX + 1 80536 KachelY + 1 19044 0.71905349 1.35628230 41.198730 77.709252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35629251-1.35628230) × R
    1.02100000001215e-05 × 6371000     		dl = 65.0479100007742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35629251-1.35628230) × R
    1.02100000001215e-05 × 6371000     		dr = 65.0479100007742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71900556-0.71905349) × cos(1.35629251) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.212862642779255 × 6371000     		do = 65.0001687101274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71900556-0.71905349) × cos(1.35628230) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.212872618776742 × 6371000     		du = 65.0032150009712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35629251)-sin(1.35628230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212862642779255-0.212872618776742)×R²
    abs(0.71905349-0.71900556)×9.97599748661648e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.97599748661648e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.97599748661648e-06×40589641000000     		ar = 4228.22420172493m²