Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80534 / 19042
↖ ↑ ↗
← N 77.710421°
E 41.193237°		 ← 65.01 m → N 77.710421°
E 41.195984°		 →
↑
64.98 m
↓
↑
64.98 m
↓
N 77.709837°
E 41.193237°		 ← 65.01 m →
4 225 m²		 N 77.709837°
E 41.195984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614429473876953 y=0.145282745361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614429473876953 × 217)
    floor (0.614429473876953 × 131072)
    floor (80534.5)     		tx = 80534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145282745361328 × 217)
    floor (0.145282745361328 × 131072)
    floor (19042.5)     		ty = 19042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80534 / 19042 ti = "17/80534/19042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80534/19042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80534 ÷ 217
    80534 ÷ 131072     		x = 0.614425659179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19042 ÷ 217
    19042 ÷ 131072     		y = 0.145278930664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614425659179688 × 2 - 1) × π
    0.228851318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.71895762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145278930664062 × 2 - 1) × π
    0.709442138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.22877821093489
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71895762} λ = 0.71895762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22877821093489))-π/2
    2×atan(9.28851054324829)-π/2
    2×1.46354951977629-π/2
    2.92709903955258-1.57079632675     		φ = 1.35630271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71895762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.193237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35630271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.710421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80534 KachelY 19042 0.71895762 1.35630271 41.193237 77.710421
    Oben rechts KachelX + 1 80535 KachelY 19042 0.71900556 1.35630271 41.195984 77.710421
    Unten links KachelX 80534 KachelY + 1 19043 0.71895762 1.35629251 41.193237 77.709837
    Unten rechts KachelX + 1 80535 KachelY + 1 19043 0.71900556 1.35629251 41.195984 77.709837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35630271-1.35629251) × R
    1.01999999999602e-05 × 6371000     		dl = 64.9841999997467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35630271-1.35629251) × R
    1.01999999999602e-05 × 6371000     		dr = 64.9841999997467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71895762-0.71900556) × cos(1.35630271) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.212852676530422 × 6371000     		do = 65.0106862403927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71895762-0.71900556) × cos(1.35629251) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.212862642779255 × 6371000     		du = 65.0137301893176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35630271)-sin(1.35629251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212852676530422-0.212862642779255)×R²
    abs(0.71900556-0.71895762)×9.96624883303765e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.96624883303765e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.96624883303765e-06×40589641000000     		ar = 4224.76634112515m²