Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80533 / 19060
↖ ↑ ↗
← N 77.699894°
E 41.190491°		 ← 65.07 m → N 77.699894°
E 41.193237°		 →
↑
65.05 m
↓
↑
65.05 m
↓
N 77.699309°
E 41.190491°		 ← 65.07 m →
4 232 m²		 N 77.699309°
E 41.193237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614421844482422 y=0.145420074462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614421844482422 × 217)
    floor (0.614421844482422 × 131072)
    floor (80533.5)     		tx = 80533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145420074462891 × 217)
    floor (0.145420074462891 × 131072)
    floor (19060.5)     		ty = 19060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80533 / 19060 ti = "17/80533/19060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80533/19060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80533 ÷ 217
    80533 ÷ 131072     		x = 0.614418029785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19060 ÷ 217
    19060 ÷ 131072     		y = 0.145416259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614418029785156 × 2 - 1) × π
    0.228836059570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.71890968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145416259765625 × 2 - 1) × π
    0.70916748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.22791534674173
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71890968} λ = 0.71890968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22791534674173))-π/2
    2×atan(9.28049927690721)-π/2
    2×1.46345764957944-π/2
    2.92691529915888-1.57079632675     		φ = 1.35611897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71890968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.190491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35611897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.699894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80533 KachelY 19060 0.71890968 1.35611897 41.190491 77.699894
    Oben rechts KachelX + 1 80534 KachelY 19060 0.71895762 1.35611897 41.193237 77.699894
    Unten links KachelX 80533 KachelY + 1 19061 0.71890968 1.35610876 41.190491 77.699309
    Unten rechts KachelX + 1 80534 KachelY + 1 19061 0.71895762 1.35610876 41.193237 77.699309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35611897-1.35610876) × R
    1.02100000001215e-05 × 6371000     		dl = 65.0479100007742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35611897-1.35610876) × R
    1.02100000001215e-05 × 6371000     		dr = 65.0479100007742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71890968-0.71895762) × cos(1.35611897) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213032202406526 × 6371000     		do = 65.0655180638002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71890968-0.71895762) × cos(1.35610876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213042178026694 × 6371000     		du = 65.0685648749721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35611897)-sin(1.35610876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213032202406526-0.213042178026694)×R²
    abs(0.71895762-0.71890968)×9.97562016827325e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.97562016827325e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.97562016827325e-06×40589641000000     		ar = 4232.47505748604m²