Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80533 / 19055
↖ ↑ ↗
← N 77.702819°
E 41.190491°		 ← 65.05 m → N 77.702819°
E 41.193237°		 →
↑
65.05 m
↓
↑
65.05 m
↓
N 77.702234°
E 41.190491°		 ← 65.05 m →
4 231 m²		 N 77.702234°
E 41.193237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614421844482422 y=0.145381927490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614421844482422 × 217)
    floor (0.614421844482422 × 131072)
    floor (80533.5)     		tx = 80533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145381927490234 × 217)
    floor (0.145381927490234 × 131072)
    floor (19055.5)     		ty = 19055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80533 / 19055 ti = "17/80533/19055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80533/19055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80533 ÷ 217
    80533 ÷ 131072     		x = 0.614418029785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19055 ÷ 217
    19055 ÷ 131072     		y = 0.145378112792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614418029785156 × 2 - 1) × π
    0.228836059570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.71890968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145378112792969 × 2 - 1) × π
    0.709243774414062 × 3.1415926535     		Φ = 2.22815503123983
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71890968} λ = 0.71890968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22815503123983))-π/2
    2×atan(9.28272393531593)-π/2
    2×1.46348317684827-π/2
    2.92696635369654-1.57079632675     		φ = 1.35617003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71890968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.190491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35617003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.702819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80533 KachelY 19055 0.71890968 1.35617003 41.190491 77.702819
    Oben rechts KachelX + 1 80534 KachelY 19055 0.71895762 1.35617003 41.193237 77.702819
    Unten links KachelX 80533 KachelY + 1 19056 0.71890968 1.35615982 41.190491 77.702234
    Unten rechts KachelX + 1 80534 KachelY + 1 19056 0.71895762 1.35615982 41.193237 77.702234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35617003-1.35615982) × R
    1.02099999998995e-05 × 6371000     		dl = 65.0479099993595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35617003-1.35615982) × R
    1.02099999998995e-05 × 6371000     		dr = 65.0479099993595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71890968-0.71895762) × cos(1.35617003) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212982314202035 × 6371000     		do = 65.0502809220264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71890968-0.71895762) × cos(1.35615982) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212992289933251 × 6371000     		du = 65.0533277671151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35617003)-sin(1.35615982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212982314202035-0.212992289933251)×R²
    abs(0.71895762-0.71890968)×9.97573121613859e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.97573121613859e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.97573121613859e-06×40589641000000     		ar = 4231.48391436381m²