Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80528 / 19056
↖ ↑ ↗
← N 77.702234°
E 41.176758°		 ← 65.05 m → N 77.702234°
E 41.179505°		 →
↑
65.05 m
↓
↑
65.05 m
↓
N 77.701649°
E 41.176758°		 ← 65.06 m →
4 232 m²		 N 77.701649°
E 41.179505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614383697509766 y=0.145389556884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614383697509766 × 217)
    floor (0.614383697509766 × 131072)
    floor (80528.5)     		tx = 80528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145389556884766 × 217)
    floor (0.145389556884766 × 131072)
    floor (19056.5)     		ty = 19056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80528 / 19056 ti = "17/80528/19056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80528/19056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80528 ÷ 217
    80528 ÷ 131072     		x = 0.6143798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19056 ÷ 217
    19056 ÷ 131072     		y = 0.1453857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6143798828125 × 2 - 1) × π
    0.228759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.71867000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1453857421875 × 2 - 1) × π
    0.709228515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.22810709434021
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71867000} λ = 0.71867000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22810709434021))-π/2
    2×atan(9.28227896097588)-π/2
    2×1.46347807187274-π/2
    2.92695614374548-1.57079632675     		φ = 1.35615982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71867000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.176758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35615982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.702234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80528 KachelY 19056 0.71867000 1.35615982 41.176758 77.702234
    Oben rechts KachelX + 1 80529 KachelY 19056 0.71871794 1.35615982 41.179505 77.702234
    Unten links KachelX 80528 KachelY + 1 19057 0.71867000 1.35614961 41.176758 77.701649
    Unten rechts KachelX + 1 80529 KachelY + 1 19057 0.71871794 1.35614961 41.179505 77.701649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35615982-1.35614961) × R
    1.02100000001215e-05 × 6371000     		dl = 65.0479100007742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35615982-1.35614961) × R
    1.02100000001215e-05 × 6371000     		dr = 65.0479100007742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71867000-0.71871794) × cos(1.35615982) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212992289933251 × 6371000     		do = 65.0533277671151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71867000-0.71871794) × cos(1.35614961) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213002265642264 × 6371000     		du = 65.0563746054225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35615982)-sin(1.35614961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212992289933251-0.213002265642264)×R²
    abs(0.71871794-0.71867000)×9.97570901320466e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.97570901320466e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.97570901320466e-06×40589641000000     		ar = 4231.68210500936m²