Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80526 / 19098
↖ ↑ ↗
← N 77.677640°
E 41.171265°		 ← 65.17 m → N 77.677640°
E 41.174011°		 →
↑
65.18 m
↓
↑
65.18 m
↓
N 77.677054°
E 41.171265°		 ← 65.17 m →
4 247 m²		 N 77.677054°
E 41.174011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614368438720703 y=0.145709991455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614368438720703 × 217)
    floor (0.614368438720703 × 131072)
    floor (80526.5)     		tx = 80526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145709991455078 × 217)
    floor (0.145709991455078 × 131072)
    floor (19098.5)     		ty = 19098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80526 / 19098 ti = "17/80526/19098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80526/19098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80526 ÷ 217
    80526 ÷ 131072     		x = 0.614364624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19098 ÷ 217
    19098 ÷ 131072     		y = 0.145706176757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614364624023438 × 2 - 1) × π
    0.228729248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.71857413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145706176757812 × 2 - 1) × π
    0.708587646484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.22609374455617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71857413} λ = 0.71857413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22609374455617))-π/2
    2×atan(9.26360928723275)-π/2
    2×1.46326344685513-π/2
    2.92652689371026-1.57079632675     		φ = 1.35573057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71857413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.171265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35573057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.677640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80526 KachelY 19098 0.71857413 1.35573057 41.171265 77.677640
    Oben rechts KachelX + 1 80527 KachelY 19098 0.71862206 1.35573057 41.174011 77.677640
    Unten links KachelX 80526 KachelY + 1 19099 0.71857413 1.35572034 41.171265 77.677054
    Unten rechts KachelX + 1 80527 KachelY + 1 19099 0.71862206 1.35572034 41.174011 77.677054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35573057-1.35572034) × R
    1.023e-05 × 6371000     		dl = 65.1753299999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35573057-1.35572034) × R
    1.023e-05 × 6371000     		dr = 65.1753299999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71857413-0.71862206) × cos(1.35573057) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.213411670675856 × 6371000     		do = 65.1678209831599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71857413-0.71862206) × cos(1.35572034) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.213421664989663 × 6371000     		du = 65.1708728671124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35573057)-sin(1.35572034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213411670675856-0.213421664989663)×R²
    abs(0.71862206-0.71857413)×9.99431380677152e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.99431380677152e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.99431380677152e-06×40589641000000     		ar = 4247.43369165259m²