Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80525 / 19117
↖ ↑ ↗
← N 77.666498°
E 41.168518°		 ← 65.24 m → N 77.666498°
E 41.171265°		 →
↑
65.18 m
↓
↑
65.18 m
↓
N 77.665911°
E 41.168518°		 ← 65.24 m →
4 252 m²		 N 77.665911°
E 41.171265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614360809326172 y=0.145854949951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614360809326172 × 217)
    floor (0.614360809326172 × 131072)
    floor (80525.5)     		tx = 80525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145854949951172 × 217)
    floor (0.145854949951172 × 131072)
    floor (19117.5)     		ty = 19117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80525 / 19117 ti = "17/80525/19117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80525/19117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80525 ÷ 217
    80525 ÷ 131072     		x = 0.614356994628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19117 ÷ 217
    19117 ÷ 131072     		y = 0.145851135253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614356994628906 × 2 - 1) × π
    0.228713989257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.71852619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145851135253906 × 2 - 1) × π
    0.708297729492188 × 3.1415926535     		Φ = 2.22518294346339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71852619} λ = 0.71852619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22518294346339))-π/2
    2×atan(9.25517582295809)-π/2
    2×1.46316621581037-π/2
    2.92633243162074-1.57079632675     		φ = 1.35553610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71852619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.168518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35553610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.666498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80525 KachelY 19117 0.71852619 1.35553610 41.168518 77.666498
    Oben rechts KachelX + 1 80526 KachelY 19117 0.71857413 1.35553610 41.171265 77.666498
    Unten links KachelX 80525 KachelY + 1 19118 0.71852619 1.35552587 41.168518 77.665911
    Unten rechts KachelX + 1 80526 KachelY + 1 19118 0.71857413 1.35552587 41.171265 77.665911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35553610-1.35552587) × R
    1.023e-05 × 6371000     		dl = 65.1753299999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35553610-1.35552587) × R
    1.023e-05 × 6371000     		dr = 65.1753299999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71852619-0.71857413) × cos(1.35553610) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.213601656509938 × 6371000     		do = 65.239444004882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71852619-0.71857413) × cos(1.35552587) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.213611650398979 × 6371000     		du = 65.2424963958377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35553610)-sin(1.35552587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213601656509938-0.213611650398979)×R²
    abs(0.71857413-0.71852619)×9.9938890406881e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.9938890406881e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.9938890406881e-06×40589641000000     		ar = 4252.10176239736m²