Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80523 / 19115
↖ ↑ ↗
← N 77.667671°
E 41.163025°		 ← 65.23 m → N 77.667671°
E 41.165771°		 →
↑
65.24 m
↓
↑
65.24 m
↓
N 77.667084°
E 41.163025°		 ← 65.24 m →
4 256 m²		 N 77.667084°
E 41.165771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614345550537109 y=0.145839691162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614345550537109 × 217)
    floor (0.614345550537109 × 131072)
    floor (80523.5)     		tx = 80523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145839691162109 × 217)
    floor (0.145839691162109 × 131072)
    floor (19115.5)     		ty = 19115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80523 / 19115 ti = "17/80523/19115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80523/19115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80523 ÷ 217
    80523 ÷ 131072     		x = 0.614341735839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19115 ÷ 217
    19115 ÷ 131072     		y = 0.145835876464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614341735839844 × 2 - 1) × π
    0.228683471679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.71843031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145835876464844 × 2 - 1) × π
    0.708328247070312 × 3.1415926535     		Φ = 2.22527881726263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71843031} λ = 0.71843031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22527881726263))-π/2
    2×atan(9.25606319436403)-π/2
    2×1.46317645473181-π/2
    2.92635290946361-1.57079632675     		φ = 1.35555658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71843031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.163025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35555658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.667671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80523 KachelY 19115 0.71843031 1.35555658 41.163025 77.667671
    Oben rechts KachelX + 1 80524 KachelY 19115 0.71847825 1.35555658 41.165771 77.667671
    Unten links KachelX 80523 KachelY + 1 19116 0.71843031 1.35554634 41.163025 77.667084
    Unten rechts KachelX + 1 80524 KachelY + 1 19116 0.71847825 1.35554634 41.165771 77.667084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35555658-1.35554634) × R
    1.02399999999392e-05 × 6371000     		dl = 65.2390399996126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35555658-1.35554634) × R
    1.02399999999392e-05 × 6371000     		dr = 65.2390399996126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71843031-0.71847825) × cos(1.35555658) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213581649126291 × 6371000     		do = 65.2333332347751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71843031-0.71847825) × cos(1.35554634) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213591652829313 × 6371000     		du = 65.2363886231732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35555658)-sin(1.35554634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213581649126291-0.213591652829313)×R²
    abs(0.71847825-0.71843031)×1.00037030216216e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00037030216216e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00037030216216e-05×40589641000000     		ar = 4255.85970137966m²