Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80522 / 19083
↖ ↑ ↗
← N 77.686429°
E 41.160278°		 ← 65.12 m → N 77.686429°
E 41.163025°		 →
↑
65.18 m
↓
↑
65.18 m
↓
N 77.685843°
E 41.160278°		 ← 65.13 m →
4 244 m²		 N 77.685843°
E 41.163025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614337921142578 y=0.145595550537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614337921142578 × 217)
    floor (0.614337921142578 × 131072)
    floor (80522.5)     		tx = 80522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145595550537109 × 217)
    floor (0.145595550537109 × 131072)
    floor (19083.5)     		ty = 19083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80522 / 19083 ti = "17/80522/19083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80522/19083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80522 ÷ 217
    80522 ÷ 131072     		x = 0.614334106445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19083 ÷ 217
    19083 ÷ 131072     		y = 0.145591735839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614334106445312 × 2 - 1) × π
    0.228668212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.71838238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145591735839844 × 2 - 1) × π
    0.708816528320312 × 3.1415926535     		Φ = 2.22681279805047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71838238} λ = 0.71838238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22681279805047))-π/2
    2×atan(9.27027271325336)-π/2
    2×1.46334014711601-π/2
    2.92668029423201-1.57079632675     		φ = 1.35588397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71838238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.160278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35588397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.686429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80522 KachelY 19083 0.71838238 1.35588397 41.160278 77.686429
    Oben rechts KachelX + 1 80523 KachelY 19083 0.71843031 1.35588397 41.163025 77.686429
    Unten links KachelX 80522 KachelY + 1 19084 0.71838238 1.35587374 41.160278 77.685843
    Unten rechts KachelX + 1 80523 KachelY + 1 19084 0.71843031 1.35587374 41.163025 77.685843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35588397-1.35587374) × R
    1.023e-05 × 6371000     		dl = 65.1753299999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35588397-1.35587374) × R
    1.023e-05 × 6371000     		dr = 65.1753299999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71838238-0.71843031) × cos(1.35588397) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.213261802138997 × 6371000     		do = 65.1220568226623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71838238-0.71843031) × cos(1.35587374) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.213271796787597 × 6371000     		du = 65.125108808848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35588397)-sin(1.35587374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213261802138997-0.213271796787597)×R²
    abs(0.71843031-0.71838238)×9.99464860013122e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.99464860013122e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.99464860013122e-06×40589641000000     		ar = 4244.45100079463m²