Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80520 / 19112
↖ ↑ ↗
← N 77.669431°
E 41.154785°		 ← 65.22 m → N 77.669431°
E 41.157532°		 →
↑
65.24 m
↓
↑
65.24 m
↓
N 77.668844°
E 41.154785°		 ← 65.23 m →
4 255 m²		 N 77.668844°
E 41.157532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614322662353516 y=0.145816802978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614322662353516 × 217)
    floor (0.614322662353516 × 131072)
    floor (80520.5)     		tx = 80520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145816802978516 × 217)
    floor (0.145816802978516 × 131072)
    floor (19112.5)     		ty = 19112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80520 / 19112 ti = "17/80520/19112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80520/19112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80520 ÷ 217
    80520 ÷ 131072     		x = 0.61431884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19112 ÷ 217
    19112 ÷ 131072     		y = 0.14581298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61431884765625 × 2 - 1) × π
    0.2286376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.71828650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14581298828125 × 2 - 1) × π
    0.7083740234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.22542262796149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71828650} λ = 0.71828650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22542262796149))-π/2
    2×atan(9.25739441100001)-π/2
    2×1.46319181131596-π/2
    2.92638362263192-1.57079632675     		φ = 1.35558730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71828650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.154785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35558730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.669431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80520 KachelY 19112 0.71828650 1.35558730 41.154785 77.669431
    Oben rechts KachelX + 1 80521 KachelY 19112 0.71833444 1.35558730 41.157532 77.669431
    Unten links KachelX 80520 KachelY + 1 19113 0.71828650 1.35557706 41.154785 77.668844
    Unten rechts KachelX + 1 80521 KachelY + 1 19113 0.71833444 1.35557706 41.157532 77.668844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35558730-1.35557706) × R
    1.02400000001612e-05 × 6371000     		dl = 65.2390400010272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35558730-1.35557706) × R
    1.02400000001612e-05 × 6371000     		dr = 65.2390400010272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71828650-0.71833444) × cos(1.35558730) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213551637882857 × 6371000     		do = 65.2241670285407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71828650-0.71833444) × cos(1.35557706) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213561641653062 × 6371000     		du = 65.2272224374586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35558730)-sin(1.35557706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213551637882857-0.213561641653062)×R²
    abs(0.71833444-0.71828650)×1.00037702056854e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00037702056854e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00037702056854e-05×40589641000000     		ar = 4255.26170766974m²