Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80520 / 19049
↖ ↑ ↗
← N 77.706328°
E 41.154785°		 ← 65.03 m → N 77.706328°
E 41.157532°		 →
↑
65.05 m
↓
↑
65.05 m
↓
N 77.705743°
E 41.154785°		 ← 65.04 m →
4 230 m²		 N 77.705743°
E 41.157532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614322662353516 y=0.145336151123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614322662353516 × 217)
    floor (0.614322662353516 × 131072)
    floor (80520.5)     		tx = 80520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145336151123047 × 217)
    floor (0.145336151123047 × 131072)
    floor (19049.5)     		ty = 19049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80520 / 19049 ti = "17/80520/19049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80520/19049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80520 ÷ 217
    80520 ÷ 131072     		x = 0.61431884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19049 ÷ 217
    19049 ÷ 131072     		y = 0.145332336425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61431884765625 × 2 - 1) × π
    0.2286376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.71828650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145332336425781 × 2 - 1) × π
    0.709335327148438 × 3.1415926535     		Φ = 2.22844265263755
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71828650} λ = 0.71828650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22844265263755))-π/2
    2×atan(9.28539422934731)-π/2
    2×1.46351380168081-π/2
    2.92702760336161-1.57079632675     		φ = 1.35623128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71828650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.154785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35623128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.706328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80520 KachelY 19049 0.71828650 1.35623128 41.154785 77.706328
    Oben rechts KachelX + 1 80521 KachelY 19049 0.71833444 1.35623128 41.157532 77.706328
    Unten links KachelX 80520 KachelY + 1 19050 0.71828650 1.35622107 41.154785 77.705743
    Unten rechts KachelX + 1 80521 KachelY + 1 19050 0.71833444 1.35622107 41.157532 77.705743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35623128-1.35622107) × R
    1.02100000001215e-05 × 6371000     		dl = 65.0479100007742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35623128-1.35622107) × R
    1.02100000001215e-05 × 6371000     		dr = 65.0479100007742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71828650-0.71833444) × cos(1.35623128) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21292246911922 × 6371000     		do = 65.0320026933222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71828650-0.71833444) × cos(1.35622107) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212932444983612 × 6371000     		du = 65.0350495790862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35623128)-sin(1.35622107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21292246911922-0.212932444983612)×R²
    abs(0.71833444-0.71828650)×9.97586439194231e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.97586439194231e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.97586439194231e-06×40589641000000     		ar = 4230.29495520016m²