Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8052 / 3460
↖ ↑ ↗
← N 71.497037°
W  3.076172°		 ← 775.38 m → N 71.497037°
W  3.054199°		 →
↑
775.54 m
↓
↑
775.54 m
↓
N 71.490062°
W  3.076172°		 ← 775.67 m →
601 452 m²		 N 71.490062°
W  3.054199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491485595703125 y=0.211212158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491485595703125 × 214)
    floor (0.491485595703125 × 16384)
    floor (8052.5)     		tx = 8052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211212158203125 × 214)
    floor (0.211212158203125 × 16384)
    floor (3460.5)     		ty = 3460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8052 / 3460 ti = "14/8052/3460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8052/3460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8052 ÷ 214
    8052 ÷ 16384     		x = 0.491455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3460 ÷ 214
    3460 ÷ 16384     		y = 0.211181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491455078125 × 2 - 1) × π
    -0.01708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.05368933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211181640625 × 2 - 1) × π
    0.57763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.81469927201685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05368933} λ = -0.05368933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81469927201685))-π/2
    2×atan(6.1392296616551)-π/2
    2×1.40932751305998-π/2
    2.81865502611997-1.57079632675     		φ = 1.24785870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05368933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.076172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24785870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.497037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8052 KachelY 3460 -0.05368933 1.24785870 -3.076172 71.497037
    Oben rechts KachelX + 1 8053 KachelY 3460 -0.05330583 1.24785870 -3.054199 71.497037
    Unten links KachelX 8052 KachelY + 1 3461 -0.05368933 1.24773697 -3.076172 71.490062
    Unten rechts KachelX + 1 8053 KachelY + 1 3461 -0.05330583 1.24773697 -3.054199 71.490062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24785870-1.24773697) × R
    0.000121730000000042 × 6371000     		dl = 775.541830000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24785870-1.24773697) × R
    0.000121730000000042 × 6371000     		dr = 775.541830000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05368933--0.05330583) × cos(1.24785870) × R
    0.000383500000000002 × 0.317353698705443 × 6371000     		do = 775.383468942492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05368933--0.05330583) × cos(1.24773697) × R
    0.000383500000000002 × 0.317469133794724 × 6371000     		du = 775.665509014276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24785870)-sin(1.24773697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317353698705443-0.317469133794724)×R²
    abs(-0.05330583--0.05368933)×0.000115435089280358×R²
    0.000383500000000002×0.000115435089280358×6371000²
    0.000383500000000002×0.000115435089280358×40589641000000     		ar = 601451.682134089m²