Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80519 / 19047
↖ ↑ ↗
← N 77.707498°
E 41.152039°		 ← 65.01 m → N 77.707498°
E 41.154785°		 →
↑
65.05 m
↓
↑
65.05 m
↓
N 77.706913°
E 41.152039°		 ← 65.02 m →
4 229 m²		 N 77.706913°
E 41.154785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614315032958984 y=0.145320892333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614315032958984 × 217)
    floor (0.614315032958984 × 131072)
    floor (80519.5)     		tx = 80519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145320892333984 × 217)
    floor (0.145320892333984 × 131072)
    floor (19047.5)     		ty = 19047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80519 / 19047 ti = "17/80519/19047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80519/19047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80519 ÷ 217
    80519 ÷ 131072     		x = 0.614311218261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19047 ÷ 217
    19047 ÷ 131072     		y = 0.145317077636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614311218261719 × 2 - 1) × π
    0.228622436523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.71823857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145317077636719 × 2 - 1) × π
    0.709365844726562 × 3.1415926535     		Φ = 2.22853852643679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71823857} λ = 0.71823857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22853852643679))-π/2
    2×atan(9.28628449804556)-π/2
    2×1.46352400804595-π/2
    2.92704801609189-1.57079632675     		φ = 1.35625169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71823857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.152039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35625169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.707498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80519 KachelY 19047 0.71823857 1.35625169 41.152039 77.707498
    Oben rechts KachelX + 1 80520 KachelY 19047 0.71828650 1.35625169 41.154785 77.707498
    Unten links KachelX 80519 KachelY + 1 19048 0.71823857 1.35624148 41.152039 77.706913
    Unten rechts KachelX + 1 80520 KachelY + 1 19048 0.71828650 1.35624148 41.154785 77.706913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35625169-1.35624148) × R
    1.02099999998995e-05 × 6371000     		dl = 65.0479099993595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35625169-1.35624148) × R
    1.02099999998995e-05 × 6371000     		dr = 65.0479099993595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71823857-0.71828650) × cos(1.35625169) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.212902527094584 × 6371000     		do = 65.0123478657719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71823857-0.71828650) × cos(1.35624148) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.212912503003345 × 6371000     		du = 65.0153941295222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35625169)-sin(1.35624148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212902527094584-0.212912503003345)×R²
    abs(0.71828650-0.71823857)×9.97590876075649e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.97590876075649e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.97590876075649e-06×40589641000000     		ar = 4229.01642939312m²