Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80516 / 19116
↖ ↑ ↗
← N 77.667084°
E 41.143799°		 ← 65.22 m → N 77.667084°
E 41.146545°		 →
↑
65.24 m
↓
↑
65.24 m
↓
N 77.666498°
E 41.143799°		 ← 65.23 m →
4 255 m²		 N 77.666498°
E 41.146545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614292144775391 y=0.145847320556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614292144775391 × 217)
    floor (0.614292144775391 × 131072)
    floor (80516.5)     		tx = 80516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145847320556641 × 217)
    floor (0.145847320556641 × 131072)
    floor (19116.5)     		ty = 19116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80516 / 19116 ti = "17/80516/19116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80516/19116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80516 ÷ 217
    80516 ÷ 131072     		x = 0.614288330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19116 ÷ 217
    19116 ÷ 131072     		y = 0.145843505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614288330078125 × 2 - 1) × π
    0.22857666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.71809476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145843505859375 × 2 - 1) × π
    0.70831298828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22523088036301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71809476} λ = 0.71809476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22523088036301))-π/2
    2×atan(9.2556194980266)-π/2
    2×1.46317133539096-π/2
    2.92634267078192-1.57079632675     		φ = 1.35554634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71809476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.143799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35554634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.667084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80516 KachelY 19116 0.71809476 1.35554634 41.143799 77.667084
    Oben rechts KachelX + 1 80517 KachelY 19116 0.71814269 1.35554634 41.146545 77.667084
    Unten links KachelX 80516 KachelY + 1 19117 0.71809476 1.35553610 41.143799 77.666498
    Unten rechts KachelX + 1 80517 KachelY + 1 19117 0.71814269 1.35553610 41.146545 77.666498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35554634-1.35553610) × R
    1.02400000001612e-05 × 6371000     		dl = 65.2390400010272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35554634-1.35553610) × R
    1.02400000001612e-05 × 6371000     		dr = 65.2390400010272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71809476-0.71814269) × cos(1.35554634) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.213591652829313 × 6371000     		do = 65.2227806989031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71809476-0.71814269) × cos(1.35553610) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.213601656509938 × 6371000     		du = 65.2258354431263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35554634)-sin(1.35553610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213591652829313-0.213601656509938)×R²
    abs(0.71814269-0.71809476)×1.0003680625148e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.0003680625148e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.0003680625148e-05×40589641000000     		ar = 4255.17124333485m²