Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80508 / 18985
↖ ↑ ↗
← N 77.743700°
E 41.121826°		 ← 64.84 m → N 77.743700°
E 41.124573°		 →
↑
64.86 m
↓
↑
64.86 m
↓
N 77.743117°
E 41.121826°		 ← 64.84 m →
4 205 m²		 N 77.743117°
E 41.124573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614231109619141 y=0.144847869873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614231109619141 × 217)
    floor (0.614231109619141 × 131072)
    floor (80508.5)     		tx = 80508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144847869873047 × 217)
    floor (0.144847869873047 × 131072)
    floor (18985.5)     		ty = 18985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80508 / 18985 ti = "17/80508/18985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80508/18985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80508 ÷ 217
    80508 ÷ 131072     		x = 0.614227294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18985 ÷ 217
    18985 ÷ 131072     		y = 0.144844055175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614227294921875 × 2 - 1) × π
    0.22845458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.71771126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144844055175781 × 2 - 1) × π
    0.710311889648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.23151061421323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71771126} λ = 0.71771126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23151061421323))-π/2
    2×atan(9.31392520564881)-π/2
    2×1.46383993159028-π/2
    2.92767986318057-1.57079632675     		φ = 1.35688354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71771126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.121826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35688354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.743700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80508 KachelY 18985 0.71771126 1.35688354 41.121826 77.743700
    Oben rechts KachelX + 1 80509 KachelY 18985 0.71775920 1.35688354 41.124573 77.743700
    Unten links KachelX 80508 KachelY + 1 18986 0.71771126 1.35687336 41.121826 77.743117
    Unten rechts KachelX + 1 80509 KachelY + 1 18986 0.71775920 1.35687336 41.124573 77.743117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35688354-1.35687336) × R
    1.01800000000818e-05 × 6371000     		dl = 64.8567800005211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35688354-1.35687336) × R
    1.01800000000818e-05 × 6371000     		dr = 64.8567800005211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71771126-0.71775920) × cos(1.35688354) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.212285120781391 × 6371000     		do = 64.8373401057535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71771126-0.71775920) × cos(1.35687336) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.212295068745499 × 6371000     		du = 64.8403784700526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35688354)-sin(1.35687336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212285120781391-0.212295068745499)×R²
    abs(0.71775920-0.71771126)×9.94796410777599e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.94796410777599e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.94796410777599e-06×40589641000000     		ar = 4205.23963219497m²