Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80504 / 19125
↖ ↑ ↗
← N 77.661803°
E 41.110840°		 ← 65.26 m → N 77.661803°
E 41.113586°		 →
↑
65.24 m
↓
↑
65.24 m
↓
N 77.661217°
E 41.110840°		 ← 65.27 m →
4 258 m²		 N 77.661217°
E 41.113586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614200592041016 y=0.145915985107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614200592041016 × 217)
    floor (0.614200592041016 × 131072)
    floor (80504.5)     		tx = 80504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145915985107422 × 217)
    floor (0.145915985107422 × 131072)
    floor (19125.5)     		ty = 19125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80504 / 19125 ti = "17/80504/19125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80504/19125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80504 ÷ 217
    80504 ÷ 131072     		x = 0.61419677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19125 ÷ 217
    19125 ÷ 131072     		y = 0.145912170410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61419677734375 × 2 - 1) × π
    0.2283935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.71751951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145912170410156 × 2 - 1) × π
    0.708175659179688 × 3.1415926535     		Φ = 2.22479944826643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71751951} λ = 0.71751951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22479944826643))-π/2
    2×atan(9.25162718796869)-π/2
    2×1.46312525053342-π/2
    2.92625050106685-1.57079632675     		φ = 1.35545417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71751951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.110840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35545417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.661803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80504 KachelY 19125 0.71751951 1.35545417 41.110840 77.661803
    Oben rechts KachelX + 1 80505 KachelY 19125 0.71756745 1.35545417 41.113586 77.661803
    Unten links KachelX 80504 KachelY + 1 19126 0.71751951 1.35544393 41.110840 77.661217
    Unten rechts KachelX + 1 80505 KachelY + 1 19126 0.71756745 1.35544393 41.113586 77.661217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35545417-1.35544393) × R
    1.02399999999392e-05 × 6371000     		dl = 65.2390399996126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35545417-1.35544393) × R
    1.02399999999392e-05 × 6371000     		dr = 65.2390399996126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71751951-0.71756745) × cos(1.35545417) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213681694917564 × 6371000     		do = 65.2638897946084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71751951-0.71756745) × cos(1.35544393) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21369169839655 × 6371000     		du = 65.2669451145801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35545417)-sin(1.35544393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213681694917564-0.21369169839655)×R²
    abs(0.71756745-0.71751951)×1.00034789854708e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00034789854708e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00034789854708e-05×40589641000000     		ar = 4257.85317994871m²