Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80503 / 19124
↖ ↑ ↗
← N 77.662391°
E 41.108093°		 ← 65.25 m → N 77.662391°
E 41.110840°		 →
↑
65.30 m
↓
↑
65.30 m
↓
N 77.661803°
E 41.108093°		 ← 65.25 m →
4 261 m²		 N 77.661803°
E 41.110840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614192962646484 y=0.145908355712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614192962646484 × 217)
    floor (0.614192962646484 × 131072)
    floor (80503.5)     		tx = 80503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145908355712891 × 217)
    floor (0.145908355712891 × 131072)
    floor (19124.5)     		ty = 19124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80503 / 19124 ti = "17/80503/19124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80503/19124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80503 ÷ 217
    80503 ÷ 131072     		x = 0.614189147949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19124 ÷ 217
    19124 ÷ 131072     		y = 0.145904541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614189147949219 × 2 - 1) × π
    0.228378295898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.71747158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145904541015625 × 2 - 1) × π
    0.70819091796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.22484738516605
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71747158} λ = 0.71747158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22484738516605))-π/2
    2×atan(9.25207069292256)-π/2
    2×1.46313037203238-π/2
    2.92626074406477-1.57079632675     		φ = 1.35546442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71747158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.108093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35546442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.662391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80503 KachelY 19124 0.71747158 1.35546442 41.108093 77.662391
    Oben rechts KachelX + 1 80504 KachelY 19124 0.71751951 1.35546442 41.110840 77.662391
    Unten links KachelX 80503 KachelY + 1 19125 0.71747158 1.35545417 41.108093 77.661803
    Unten rechts KachelX + 1 80504 KachelY + 1 19125 0.71751951 1.35545417 41.110840 77.661803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35546442-1.35545417) × R
    1.02499999998784e-05 × 6371000     		dl = 65.3027499992254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35546442-1.35545417) × R
    1.02499999998784e-05 × 6371000     		dr = 65.3027499992254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71747158-0.71751951) × cos(1.35546442) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.213671681647117 × 6371000     		do = 65.2472184613174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71747158-0.71751951) × cos(1.35545417) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.213681694917564 × 6371000     		du = 65.250276133908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35546442)-sin(1.35545417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213671681647117-0.213681694917564)×R²
    abs(0.71751951-0.71747158)×1.00132704468348e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.00132704468348e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.00132704468348e-05×40589641000000     		ar = 4260.92263272195m²