Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80502 / 19079
↖ ↑ ↗
← N 77.688772°
E 41.105347°		 ← 65.12 m → N 77.688772°
E 41.108093°		 →
↑
65.18 m
↓
↑
65.18 m
↓
N 77.688186°
E 41.105347°		 ← 65.13 m →
4 245 m²		 N 77.688186°
E 41.108093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614185333251953 y=0.145565032958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614185333251953 × 217)
    floor (0.614185333251953 × 131072)
    floor (80502.5)     		tx = 80502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145565032958984 × 217)
    floor (0.145565032958984 × 131072)
    floor (19079.5)     		ty = 19079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80502 / 19079 ti = "17/80502/19079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80502/19079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80502 ÷ 217
    80502 ÷ 131072     		x = 0.614181518554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19079 ÷ 217
    19079 ÷ 131072     		y = 0.145561218261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614181518554688 × 2 - 1) × π
    0.228363037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.71742364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145561218261719 × 2 - 1) × π
    0.708877563476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.22700454564895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71742364} λ = 0.71742364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22700454564895))-π/2
    2×atan(9.27205043621499)-π/2
    2×1.4633605914204-π/2
    2.92672118284081-1.57079632675     		φ = 1.35592486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71742364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.105347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35592486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.688772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80502 KachelY 19079 0.71742364 1.35592486 41.105347 77.688772
    Oben rechts KachelX + 1 80503 KachelY 19079 0.71747158 1.35592486 41.108093 77.688772
    Unten links KachelX 80502 KachelY + 1 19080 0.71742364 1.35591463 41.105347 77.688186
    Unten rechts KachelX + 1 80503 KachelY + 1 19080 0.71747158 1.35591463 41.108093 77.688186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35592486-1.35591463) × R
    1.023e-05 × 6371000     		dl = 65.1753299999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35592486-1.35591463) × R
    1.023e-05 × 6371000     		dr = 65.1753299999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71742364-0.71747158) × cos(1.35592486) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213221852631537 × 6371000     		do = 65.1234421241154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71742364-0.71747158) × cos(1.35591463) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213231847369339 × 6371000     		du = 65.1264947743047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35592486)-sin(1.35591463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213221852631537-0.213231847369339)×R²
    abs(0.71747158-0.71742364)×9.99473780224913e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.99473780224913e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.99473780224913e-06×40589641000000     		ar = 4244.54130975212m²