Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80501 / 19123
↖ ↑ ↗
← N 77.662977°
E 41.102600°		 ← 65.26 m → N 77.662977°
E 41.105347°		 →
↑
65.24 m
↓
↑
65.24 m
↓
N 77.662391°
E 41.102600°		 ← 65.26 m →
4 257 m²		 N 77.662391°
E 41.105347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614177703857422 y=0.145900726318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614177703857422 × 217)
    floor (0.614177703857422 × 131072)
    floor (80501.5)     		tx = 80501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145900726318359 × 217)
    floor (0.145900726318359 × 131072)
    floor (19123.5)     		ty = 19123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80501 / 19123 ti = "17/80501/19123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80501/19123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80501 ÷ 217
    80501 ÷ 131072     		x = 0.614173889160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19123 ÷ 217
    19123 ÷ 131072     		y = 0.145896911621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614173889160156 × 2 - 1) × π
    0.228347778320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.71737570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145896911621094 × 2 - 1) × π
    0.708206176757812 × 3.1415926535     		Φ = 2.22489532206567
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71737570} λ = 0.71737570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22489532206567))-π/2
    2×atan(9.2525142191372)-π/2
    2×1.46313549329151-π/2
    2.92627098658302-1.57079632675     		φ = 1.35547466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71737570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.102600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35547466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.662977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80501 KachelY 19123 0.71737570 1.35547466 41.102600 77.662977
    Oben rechts KachelX + 1 80502 KachelY 19123 0.71742364 1.35547466 41.105347 77.662977
    Unten links KachelX 80501 KachelY + 1 19124 0.71737570 1.35546442 41.102600 77.662391
    Unten rechts KachelX + 1 80502 KachelY + 1 19124 0.71742364 1.35546442 41.105347 77.662391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35547466-1.35546442) × R
    1.02400000001612e-05 × 6371000     		dl = 65.2390400010272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35547466-1.35546442) × R
    1.02400000001612e-05 × 6371000     		dr = 65.2390400010272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71737570-0.71742364) × cos(1.35547466) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.213661678123298 × 6371000     		do = 65.2577761505585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71737570-0.71742364) × cos(1.35546442) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.213671681647117 × 6371000     		du = 65.2608314842235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35547466)-sin(1.35546442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213661678123298-0.213671681647117)×R²
    abs(0.71742364-0.71737570)×1.00035238188301e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.00035238188301e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.00035238188301e-05×40589641000000     		ar = 4257.45433219956m²