Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80499 / 19121
↖ ↑ ↗
← N 77.664151°
E 41.097107°		 ← 65.25 m → N 77.664151°
E 41.099854°		 →
↑
65.24 m
↓
↑
65.24 m
↓
N 77.663564°
E 41.097107°		 ← 65.25 m →
4 257 m²		 N 77.663564°
E 41.099854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614162445068359 y=0.145885467529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614162445068359 × 217)
    floor (0.614162445068359 × 131072)
    floor (80499.5)     		tx = 80499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145885467529297 × 217)
    floor (0.145885467529297 × 131072)
    floor (19121.5)     		ty = 19121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80499 / 19121 ti = "17/80499/19121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80499/19121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80499 ÷ 217
    80499 ÷ 131072     		x = 0.614158630371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19121 ÷ 217
    19121 ÷ 131072     		y = 0.145881652832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614158630371094 × 2 - 1) × π
    0.228317260742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.71727983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145881652832031 × 2 - 1) × π
    0.708236694335938 × 3.1415926535     		Φ = 2.22499119586491
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71727983} λ = 0.71727983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22499119586491))-π/2
    2×atan(9.25340133535283)-π/2
    2×1.4631457350903-π/2
    2.92629147018061-1.57079632675     		φ = 1.35549514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71727983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.097107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35549514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.664151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80499 KachelY 19121 0.71727983 1.35549514 41.097107 77.664151
    Oben rechts KachelX + 1 80500 KachelY 19121 0.71732777 1.35549514 41.099854 77.664151
    Unten links KachelX 80499 KachelY + 1 19122 0.71727983 1.35548490 41.097107 77.663564
    Unten rechts KachelX + 1 80500 KachelY + 1 19122 0.71732777 1.35548490 41.099854 77.663564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35549514-1.35548490) × R
    1.02399999999392e-05 × 6371000     		dl = 65.2390399996126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35549514-1.35548490) × R
    1.02399999999392e-05 × 6371000     		dr = 65.2390399996126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71727983-0.71732777) × cos(1.35549514) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.21364167100845 × 6371000     		do = 65.2516654627007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71727983-0.71732777) × cos(1.35548490) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.213651674577076 × 6371000     		du = 65.2547208100509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35549514)-sin(1.35548490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21364167100845-0.213651674577076)×R²
    abs(0.71732777-0.71727983)×1.0003568625655e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.0003568625655e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.0003568625655e-05×40589641000000     		ar = 4257.05567714347m²