Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80499 / 19041
↖ ↑ ↗
← N 77.711006°
E 41.097107°		 ← 65.01 m → N 77.711006°
E 41.099854°		 →
↑
65.05 m
↓
↑
65.05 m
↓
N 77.710421°
E 41.097107°		 ← 65.01 m →
4 229 m²		 N 77.710421°
E 41.099854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614162445068359 y=0.145275115966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614162445068359 × 217)
    floor (0.614162445068359 × 131072)
    floor (80499.5)     		tx = 80499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145275115966797 × 217)
    floor (0.145275115966797 × 131072)
    floor (19041.5)     		ty = 19041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80499 / 19041 ti = "17/80499/19041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80499/19041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80499 ÷ 217
    80499 ÷ 131072     		x = 0.614158630371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19041 ÷ 217
    19041 ÷ 131072     		y = 0.145271301269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614158630371094 × 2 - 1) × π
    0.228317260742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.71727983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145271301269531 × 2 - 1) × π
    0.709457397460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.22882614783451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71727983} λ = 0.71727983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22882614783451))-π/2
    2×atan(9.28895581631824)-π/2
    2×1.46355462140544-π/2
    2.92710924281088-1.57079632675     		φ = 1.35631292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71727983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.097107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35631292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.711006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80499 KachelY 19041 0.71727983 1.35631292 41.097107 77.711006
    Oben rechts KachelX + 1 80500 KachelY 19041 0.71732777 1.35631292 41.099854 77.711006
    Unten links KachelX 80499 KachelY + 1 19042 0.71727983 1.35630271 41.097107 77.710421
    Unten rechts KachelX + 1 80500 KachelY + 1 19042 0.71732777 1.35630271 41.099854 77.710421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35631292-1.35630271) × R
    1.02099999998995e-05 × 6371000     		dl = 65.0479099993595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35631292-1.35630271) × R
    1.02099999998995e-05 × 6371000     		dr = 65.0479099993595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71727983-0.71732777) × cos(1.35631292) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.212842700488579 × 6371000     		do = 65.0076393004306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71727983-0.71732777) × cos(1.35630271) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.212852676530422 × 6371000     		du = 65.0106862403927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35631292)-sin(1.35630271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212842700488579-0.212852676530422)×R²
    abs(0.71732777-0.71727983)×9.97604184296841e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.97604184296841e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.97604184296841e-06×40589641000000     		ar = 4228.71016888415m²