Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80484 / 19028
↖ ↑ ↗
← N 77.718603°
E 41.055908°		 ← 64.95 m → N 77.718603°
E 41.058655°		 →
↑
64.92 m
↓
↑
64.92 m
↓
N 77.718019°
E 41.055908°		 ← 64.96 m →
4 217 m²		 N 77.718019°
E 41.058655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614048004150391 y=0.145175933837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614048004150391 × 217)
    floor (0.614048004150391 × 131072)
    floor (80484.5)     		tx = 80484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145175933837891 × 217)
    floor (0.145175933837891 × 131072)
    floor (19028.5)     		ty = 19028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80484 / 19028 ti = "17/80484/19028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80484/19028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80484 ÷ 217
    80484 ÷ 131072     		x = 0.614044189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19028 ÷ 217
    19028 ÷ 131072     		y = 0.145172119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614044189453125 × 2 - 1) × π
    0.22808837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.71656078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145172119140625 × 2 - 1) × π
    0.70965576171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.22944932752957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71656078} λ = 0.71656078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22944932752957))-π/2
    2×atan(9.29474630904264)-π/2
    2×1.46362092084412-π/2
    2.92724184168825-1.57079632675     		φ = 1.35644551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71656078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.055908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35644551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.718603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80484 KachelY 19028 0.71656078 1.35644551 41.055908 77.718603
    Oben rechts KachelX + 1 80485 KachelY 19028 0.71660871 1.35644551 41.058655 77.718603
    Unten links KachelX 80484 KachelY + 1 19029 0.71656078 1.35643532 41.055908 77.718019
    Unten rechts KachelX + 1 80485 KachelY + 1 19029 0.71660871 1.35643532 41.058655 77.718019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35644551-1.35643532) × R
    1.0189999999799e-05 × 6371000     		dl = 64.9204899987192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35644551-1.35643532) × R
    1.0189999999799e-05 × 6371000     		dr = 64.9204899987192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71656078-0.71660871) × cos(1.35644551) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.212713146721985 × 6371000     		do = 64.9545182907531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71656078-0.71660871) × cos(1.35643532) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.212723103509631 × 6371000     		du = 64.9575587156409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35644551)-sin(1.35643532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212713146721985-0.212723103509631)×R²
    abs(0.71660871-0.71656078)×9.95678764600938e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.95678764600938e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.95678764600938e-06×40589641000000     		ar = 4216.97784801026m²