Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8048 / 4047
↖ ↑ ↗
← N 66.938669°
W  3.164063°		 ← 957.07 m → N 66.938669°
W  3.142090°		 →
↑
957.24 m
↓
↑
957.24 m
↓
N 66.930060°
W  3.164063°		 ← 957.41 m →
916 312 m²		 N 66.930060°
W  3.142090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491241455078125 y=0.247039794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491241455078125 × 214)
    floor (0.491241455078125 × 16384)
    floor (8048.5)     		tx = 8048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247039794921875 × 214)
    floor (0.247039794921875 × 16384)
    floor (4047.5)     		ty = 4047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8048 / 4047 ti = "14/8048/4047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8048/4047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8048 ÷ 214
    8048 ÷ 16384     		x = 0.4912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4047 ÷ 214
    4047 ÷ 16384     		y = 0.24700927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4912109375 × 2 - 1) × π
    -0.017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05522331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24700927734375 × 2 - 1) × π
    0.5059814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.58958759140106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05522331} λ = -0.05522331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58958759140106))-π/2
    2×atan(4.90172699706113)-π/2
    2×1.36954824732534-π/2
    2.73909649465067-1.57079632675     		φ = 1.16830017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05522331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.164063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16830017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.938669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8048 KachelY 4047 -0.05522331 1.16830017 -3.164063 66.938669
    Oben rechts KachelX + 1 8049 KachelY 4047 -0.05483981 1.16830017 -3.142090 66.938669
    Unten links KachelX 8048 KachelY + 1 4048 -0.05522331 1.16814992 -3.164063 66.930060
    Unten rechts KachelX + 1 8049 KachelY + 1 4048 -0.05483981 1.16814992 -3.142090 66.930060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16830017-1.16814992) × R
    0.000150249999999907 × 6371000     		dl = 957.24274999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16830017-1.16814992) × R
    0.000150249999999907 × 6371000     		dr = 957.24274999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05522331--0.05483981) × cos(1.16830017) × R
    0.000383499999999995 × 0.391716239386765 × 6371000     		do = 957.071865794524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05522331--0.05483981) × cos(1.16814992) × R
    0.000383499999999995 × 0.3918544778977 × 6371000     		du = 957.409620976162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16830017)-sin(1.16814992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391716239386765-0.3918544778977)×R²
    abs(-0.05483981--0.05522331)×0.00013823851093453×R²
    0.000383499999999995×0.00013823851093453×6371000²
    0.000383499999999995×0.00013823851093453×40589641000000     		ar = 916311.763333739m²