Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8048 / 4043
↖ ↑ ↗
← N 66.973073°
W  3.164063°		 ← 955.72 m → N 66.973073°
W  3.142090°		 →
↑
955.90 m
↓
↑
955.90 m
↓
N 66.964476°
W  3.164063°		 ← 956.06 m →
913 740 m²		 N 66.964476°
W  3.142090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491241455078125 y=0.246795654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491241455078125 × 214)
    floor (0.491241455078125 × 16384)
    floor (8048.5)     		tx = 8048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246795654296875 × 214)
    floor (0.246795654296875 × 16384)
    floor (4043.5)     		ty = 4043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8048 / 4043 ti = "14/8048/4043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8048/4043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8048 ÷ 214
    8048 ÷ 16384     		x = 0.4912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4043 ÷ 214
    4043 ÷ 16384     		y = 0.24676513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4912109375 × 2 - 1) × π
    -0.017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05522331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24676513671875 × 2 - 1) × π
    0.5064697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.5911215721889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05522331} λ = -0.05522331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5911215721889))-π/2
    2×atan(4.90925192217156)-π/2
    2×1.36984847797978-π/2
    2.73969695595955-1.57079632675     		φ = 1.16890063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05522331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.164063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16890063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.973073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8048 KachelY 4043 -0.05522331 1.16890063 -3.164063 66.973073
    Oben rechts KachelX + 1 8049 KachelY 4043 -0.05483981 1.16890063 -3.142090 66.973073
    Unten links KachelX 8048 KachelY + 1 4044 -0.05522331 1.16875059 -3.164063 66.964476
    Unten rechts KachelX + 1 8049 KachelY + 1 4044 -0.05483981 1.16875059 -3.142090 66.964476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16890063-1.16875059) × R
    0.000150040000000073 × 6371000     		dl = 955.904840000468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16890063-1.16875059) × R
    0.000150040000000073 × 6371000     		dr = 955.904840000468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05522331--0.05483981) × cos(1.16890063) × R
    0.000383499999999995 × 0.391163693917513 × 6371000     		do = 955.721843329229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05522331--0.05483981) × cos(1.16875059) × R
    0.000383499999999995 × 0.391301774494954 × 6371000     		du = 956.059212635356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16890063)-sin(1.16875059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391163693917513-0.391301774494954)×R²
    abs(-0.05483981--0.05522331)×0.000138080577440303×R²
    0.000383499999999995×0.000138080577440303×6371000²
    0.000383499999999995×0.000138080577440303×40589641000000     		ar = 913740.383923518m²